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第五章 定积分 讲授内容：§5-1定积分的概念与性质 教学目的与要求： 1. 理解定积分概念，并会利用定积分定义计算定积分和极限。 2. 掌握定积分性质，并会根据定积分的性质证明或计算一些问题。 3. 理解定积分的几何意义。 教学方法：讲授法 教学重难点：重点――定积分性质的应用。 难点――定积分定义的理解与应用。 教学建议： 利用定积分的定义计算定积分时，可以对积分区间采取特殊分割及进行特殊选取，以便计算。 利用定积分的定义求和式极限的关键是：仔细分析所求和式，选择适当的可积函数与积分区间。 学时：2学时 教学过程： 引例 曲边梯形的面积 设y=f(x)在[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为 曲边. 细分：在[a,b]内任意插入分点:a=x0 x1 x2…xn-1 xn=b将[a,b]分成n个小区间: [x0,x1], [x1,x2],…,[xi-1 xi],…,[xn-1,xn], 记: Δxi=xi-xi-1,(i=1,2,…,n) 表示第i个小区间的长度. 近似求和：在[xi,xi-1]上任取点ξi,则曲边梯形的面积A近似为: A≈f(ξi)Δxi. 取极限：记λ=max{Δx1, Δx2,…,Δxn},则A=f(ξi)Δxi. 变速直线运动的路程 设物体的运动速度v=v(t).则物体在时间[T1,T2]内运动的路程为: . 其中 T1=t0 t1 t2…tn-1 tn=T2, Δti=ti-ti-1,τi∈[ti-1,ti], (i=1,2,…,n) 小结：两例的结果都归结为两个形式完全相同的极限，对于具体的函数而要计算具体的值是十分困难的。因此为了寻求解决问题的简单方法，而引入定积分。 定积分的定义 定义：设函数y=f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]内任意插入n个分点: a=x0 x1 x2…xn-1 xn=b 将[a,b]分成n个小区间: [x0,x1], [x1,x2],…[xn-1,xn], 记Δxi=xi-xi-1,(i=1,2,…,n)表示第i个小区间的长度. 在[xi-1 xi,]上任取点ξi,作乘积f(ξi)Δxi并作和: 记λ=max{Δx1, Δx2,…,Δxn}，如果不论对[a,b]的分法及小区间[xi-1,xi]上点ξi的取法如何，当λ→0时，极限存在，称此极限值为函数y=f(x)在[a,b]上的定积分，记为: 其中: f(x)为被积函数, f(x)dx为被积表达式, x为积分变量, a为积分上限, b为积分下限, [a,b]为积分区间. 称为积分和. 当f(x)在[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在[a,b]上可积. 注意：定积分的值只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量字母的选取无关.即： f(x)dx=f(t)dt=f(u)du 定积分的存在定理 定理1.设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积; 定理2.设f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积. 定积分的几何意义: 的几何意义为：它是介于x轴、函数y=f(x)的图形及两直线x=a,和y=b之间的各部分面积的代数和. 填空: 1) dx=π/4; 2) dx=0. 用定积分的定义计算:dx. 解:将 [0,1] n等份, 分点为xi=,i=0,1,2…n. 则 Δxi=xi-xi-1=(i=1,2,…n). 在[xi-1,xi]上取点ξi=xi=.作和: f(ξi)Δxi=ei/n=[e1/n+ e2/n+…+en/n] ==(1-e)→e-1(n→∞) 所以: dx=e-1. 注：利用定积分的定义计算定积分时，可以对积分区间采取特殊分割及进行特殊选取，以便计算。 用定积分表示下列极限: [+ +…+] 解:原式==dx [sin+ sin+…sin] 解:原式=sin=sinxdx 注：利用定积分的定义求和式极限的关键是：仔细分析所求和式，选择适当的可积函数与积分区间。 定积分的性质、中值定理 定积分的两点补充规定： 当a=b时, f(x)dx=0 f(x)dx=-f(x)dx [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx 证明: [f(x)±g(x)]dx=[f(ξi)±g(ξi)]Δxi=f(x)dx±g(x)dx kf(x)dx=kf(x)dx (k为常数) f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx (定积分的区间可加性) 1?dx=dx=b-a [在[a,b]上,f(x)≡1] 当f(x)≥0,ab时, f(x)dx≥0. 推论1) 如果在[a,b]上,f(x)≤g(x),则