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第五章 概率基础 Ⅰ．学习目的 本章介绍概率的基本理论、性质、方法以及一些应用方面的知识。通过 本章的学习，要求：1.理解概率的基本定义、性质；2.理解古典概型的特征，随机变量的分布特征及应用场合；3.掌握：古典概型与随机变量的各种计算及其应用。 Ⅱ．课程内容要点 第一节 概率的基本概念 一、随机试验与随机事件 在相同条件下重复同样的试验所得结果不确定的现象称为随机现象。 （一）样本空间 从总体中随机抽取一个单位并把结果记录下来称为一次试验。每种试验结果对应着一个样本点，以全部样本点为元素的集合称为样本空间。 （二）事件 一般地，样本空间的特定子集称为事件。基本事件是指对应样本空间中一个样本点的事件，它是不可再分的。而复合事件是可以由若干个基本事件结合而成的。如果一个事件在每次试验中都必定发生，则称该事件为必然事件。由于样本空间本身作为一个事件，每个样本点都属于它，因此每次试验它都会发生，就是一个必然事件。一个事件如果是零集或空集，就称为不可能事件，通常用来表示。 下面我们就来看看事件间的关系和运算： 包含关系 表示事件发生则事件发生； 相等关系 表示且 互不相容 =，表示与不可能同时发生。 逆 与有且只能有一个发生，也就是说不是发生就是发生，则称是的逆事件，记作。 交（）=={和同时发生} 一般地，可以将此公式推广为： （6） 　并（） 给定两个事件和构成一个新的事件=={和至少发生一个}，也可记为＋。 同样地可以将此公式推广为： （7） 　差（） ={发生且不发生} 二、概率 （一）概率的定义 定义5.1　定义在事件域上的一个集合函数称为概率，如果它满足如下三个条件： （ⅰ），对一切； （ⅱ）； （ⅲ）若且两两不相容，则 　　　　 这就是概率的可列可加性或完全可加性。 利用概率的基本性质可以推出概率的另外一些重要性质。 性质1　不可能事件的概率为0，即　 性质2　必然事件的概率为1，即　 性质3　概率具有有限可加性。即若 　　　 概率的基本运算 1. 概率具有有限可加性。即若 　 2.　对任何事件A有　　　 3.　如果，则　　　 　推论　如果，则 4.　（一般加法公式）　若为n个事件，则 　　　　　　　　　＋…＋ 特别地，当＝2时，有 　　　　　　　　　 （三）几个重要的概型 　　1.　古典概型 在我们所研究的随机现象中有一类最简单的随机现象，这种随机现象的全部可能结果只有有限个，这些事件是两两互不相容的，而且它们发生的概率都相等，我们就把这类随机现象的数学模型称为古典概型。 记这些事件为，若事件包含的样本点的个数为个，则其概率为 　　　　　　　　 2.　几何概型 古典概型所能计算的只是有限场合的情况，那些有无限多结果的场合又如何呢？下面我们就用几何方法来解决这个问题。 我们先看一些具体的问题。（1）开往某市的汽车开车时间为每个正点一趟，某人到车站乘车，求他等车短于10分钟的概率；（2）一片面积为S的树林中有一块面积为的空地，由空中向空地投掷物品，求投中的概率。（3）在10毫升的自来水中有1个大肠杆菌，现在从中随机取出2毫升自来水在显微镜下观察，试求大肠杆菌的概率。 在上述的问题中，其样本空间分别是一、二、三维，分别用长度、面积和体积来衡量。则事件的概率与的位置与形状均无关，而与其长度（或面积、体积）成正比，也就是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中表示长度（或面积、体积）。 3.　事件的独立性与条件概率 （1）事件的独立性 若两个随机事件、的发生与否不会相互影响，则称它们相互独立，其定义如下： 定义5.2　对于任意两个事件、，如果等式 　　　　　＝　　　　　　　　　　 成立，则称事件和相互独立。 （2）条件概率 条件概率研究的是在某一事件发生的条件下，另一事件发生是否会受到影响，影响有多大呢？ 定义5.3　给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意两个事件、，其中，称 　　　　　　　　　　　　　　　　 为在已知事件发生的条件下事件A的条件概率。 　　（3）两个重要公式 全概率公式　　　　　　　　 贝叶斯公式　　　　　　 第二节 随机变量及其分布 一、随机变量与随机分布的概念 正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是试验会出现什么结果，更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现。这样，了解随机现象的规律就变成了解随机变量的所有可能取值及随机变量取值的概率。而这两个特征就可以通过随机变量分布来表现出来。　 二、概率分布的类型 （一）离散型随机变量分布 当试验结果所可能取的值能够一一列举出来时，这种类型的随机变量称为离散型随机变量，其分布就称为离散型随机变量分布。 如果随机变量的取值可以一一列出，记为，而相对于所取的概率为，即，｛｝称为随机变量的概率分布，它应满