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一元二次方程的解法例析 【要点综述】： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。 根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。 一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程 整式方程的概念：方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数。 因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。 一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表： 方法 适合方程类型 注意事项 直接开平方法 ≥0时有解，＜0时无解。 配方法 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。 公式法 ≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。 因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。 【举例解析】 例 ：用开平方法解下面的一元二次方程。 （1）； （2） 分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程， 其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做； 解：（1） ∴（注意不要丢解） 由得，由得∴原方程的解为：， （2） 由得， 由得∴原方程的解为：， 说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式， 像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时， 只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。 例3 ：用配方法解下列一元二次方程。 （1）；（2） 分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1， 变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方， 即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：， 接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边加上一次项系数的一半的平方。 解：（1） 二次项系数化为1，移常数项得：， 配方得：，即直接开平方得： ∴， ∴原方程的解为：， 二次项系数化为1，移常数项得： 方程两边都加上一次项系数一半的平方得： 即 直接开平方得：∴， ∴原方程的解为：， 说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边； 再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。 例4：用公式法解下列方程。 （1）；（2） 分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式， 然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。 但要注意当＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值， 判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐， 可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。 解：（1）， 化为一般式：求出判别式的值：＞0 代入求根公式：， ∴， （2） 化为一般式：求出判别式的值：＞0 ∴∴， 说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。 但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。 例5：用分解因式法解下列方程。 （1）；（2） 分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式， 让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根， 就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式； 第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。 解：（1） 左边分解成两个因式的积得： 于是可得：， ∴， （2） 化简变为一般式得： 左边分解成两个因式的积得： 于是可得：，∴， 说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。 把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。 总结：直接开平方法是最基本的方法。公式