(第十四章偏微分方程.docxVIP

?.????§3? 二阶偏微分方程一、 一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程 (1)式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数. [特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某些参数，且有.如果点x=(x1,x2,…,xn)满足特征方程，即则过x的平面的法线方向l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1,x2,…,xn)，根据二次型 (ai为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类： (i)特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型. (ii)特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型. (iii)特征根都不为零，有个具有同一种符号(nm1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型. (iv)特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型. 若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型. 在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式： 椭圆型： 双曲型： 超双曲型： 抛物型：式中Φ为不包含二阶导数的项. [两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为 (2)?a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.?方程a11dy2a12dxdy+a22dx2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类： 当Δ0时，方程为双曲型；?当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ0时，方程为椭圆型.在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i） （i） 双曲型：因Δ0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式或 （ii） （ii） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式（iii） （iii） 椭圆型：因Δ0，不存在实特征曲线，设为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理 椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理] 1 极值原理 设D为n维欧氏空间En的有界区域，S是D的边界，在D内考虑椭圆型方程式中aij(x),bi(x),c(x),f(x)在上连续，c(x)≤0且二次型正定，即存在常数μ0，对任意和任意的ai有 定理1 设u(x)为D内椭圆型方程的解，它在D内二次连续可微，在上连续，且不是常数，如f(x)≤0（或f(x)≥0），则u(x)不能在D的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S上的任一点P都可作一球，使它在P点与S相切且完全包含在区域D内，则有 定理2 设u(x)为椭圆型方程在D内二次连续可微，在上连续可微的解，且不是常数，并设f(x)≤0（或f(x)≥0）.若u(x)在边界S上某点M处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数在点M存在，则 (或) 2 定解问题 (i)第一边值问题（狄利克莱问题） (S) (ii)? 第二边值问题（诺伊曼问题）(S)其中 N为S的外法线方向. (iii) 第三边值问题（混合问题）? (S)a(),b(),()在S上连续，N是S的外法线方向，a()≥0,b()≤0，且a2()+b2()≠0. 3 解的惟一性问题 设c(x)及b()不同时恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则是惟一的，设c(x)及b()都恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的. [抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理] 设为柱体，在柱体内部 考虑抛物型方程式中aij(x,t),bi(x,t),c(x,t),f(x,t)在上连续，且正定. 1 强极值原理 设u(x,t)为抛物型方程Lu=f(x,t)在D×(0,T)内连续可微在上连续的解.并设f(x)=0，若u(x,t)在D×(0,T]的某点(x0,t0)取非负的最大值，即则对任意满足下列条件的点P(x,t)，都有u(x,t)=m：点P(x,t)满足tt0,且可用完全在D×(0,T] 内的连续曲线x=x(t)与点(x0,t0)相连. 如在的侧边界Γ:S×[0,T]上（S是D的边