具有三种棱长的四面体种类探索-华东师范大学数学系.docVIP

具有三种棱长的四面体种类探索 蔡鼎尧（ 指导老师：林磊 【摘 要】本文由1999年的一道高考填空题引入，探索了具有三种棱长的四面体种类。文中就3种棱长的个数分类讨论了三种棱长所构成的四面体的种类，且在各个分类下分别讨论构成四面体的条件，并研究了普遍的四面体体积公式以及各个分类下的四面体体积公式。 【关键词】四面体，三种棱长，体积 在1999年的高考题中有一道填空题： “若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_________（只需写出一个可能的值）”。 文[1]已经完美解决了由这道题拓展出的“具有两种棱长的四面体的种类”问题。本文尝试讨论一下“具有三种棱长的四面体”的问题。 §1. 四面体种类的探索 根据三种不同棱长a、b、c的棱的数量，可以分为三大类（其中a、b互不相等）。 一、有1根棱长为a，一根棱长为b，4根棱长为c的情况： 在这种情况下，可以分为以下两小类 （ⅰ）棱长为a和棱长为b的两根棱异面。如图（1），其中= b，= a，其余棱长均为c。 图（1） 因为 △ABC与 △APC 是可构造的，所以a,。 下面证明对于a∈，是成立的一个充要条件。 必要性证明：a∈，对于任一已确定的a∈和任一确定的c，实际上已经确定了四面体P-ABC的两个面：△ABC以及△PBC。而= b，因为可以构成，所以由△ABC和△PBC所夹的二面角∈，，又因为=为固定的值，所以= b是的一个单调增函数，b=f(), ∈。f=2=（如图（2）），f(π)=2=2 ，f(0)=0。所以。 图（2） 图（3） 充分性证明：因为a∈，所以△ABC和△PBC都存在且共边BC（如图（3））。 取BC中点O，连接AO、PO，因为△PBC和△ABC都是等腰三角形，又因为PB=AB=PC=AC，且共边BC，所以ABC≌△PBC，所以,都满足构成△PAO，和△PAC的条件。又因为B、O、C在同一线段BC上且不是重合的点，所以四面体P-ABC是可构造的。 （ⅱ）棱长为a和棱长为b的两根棱共面。 对于这种情况我们这里只进行了定性分析。 图（4） 我们猜测的充要条件是：若（其中= b，，====c）可以构成，则以点C作为球心，===c作为半径的半球；△ABC在半球的底面上，另一个点P一定在这个半球上（底面除外）（如图（4））。 必要性证明：若符合要求的P-ABC存在，即====c，， = a。以点C为球心，作如前面要求的半球。则因为=半径c，所以显然P点在除底面外的半球上。 充分性证明：以点C为球心作如前面要求的半球。点A和点B在半球底面圆C上，任取半球除底面外的一点P，连接PA，PB，PC。因为等边△ABC存在，所以P与△ABC不在同一平面，且连接了PA，PB，PC，所以存在四面体P-ABC。 在此四面体中， = b， = a，====c，所以符合要求的四面体P-ABC存在，证毕。 二、有1根棱长为a，2根棱长为b，3根棱长为c的情况： 在这种情况下，可以分为以下四小类。 图（5） （ⅰ）3根棱长为c的棱共面（如图（5））。 取△PAB分析，因为△PAB是等腰三角形，其中两腰==b，底=c，所以我们据此可以推出b。对于给定c，，当且仅当时，符合要求的四面体P-ABC存在。 图（6） 必要性证明：证明方法类似前面—（ⅰ）。对于，因为c已确定，对于任取一定b，所以四面体中的两个面△PAB和△CAB已确定。的取值范围的确定取决于△PAB和△CAB所在平面所夹的两角β的值，即=a=。a是∈的单调增函数（在前一（ⅰ）中已经说明）。 并且可以得到， ，。。所以 。 充分性证明：对于给定C，b,使得△POC存在，△PAC和△PBC也存在。因为△PAB、△ACB存在，△POC、△PAC和△PBC也存在，且点A、O、B在同一线段AB上，所以存在四面体P-ABC，证毕。 （ⅱ）3根棱长为c的棱共点（不妨放在点P）。 图（7） 图（8） 对于这种情况，我们也只进行了定性的讨论。 构建如图（8），以P为球心， ===c为半径的半球，充要条件是：当△CAB是以∣AC∣=∣BC∣=b为腰，不过球心P的球内接等腰三角形时，符合要求的四面体P-ABC存在。 必要性证明：任取一符合条件的四面体P-ABC，把顶点P放在前面构造的半球中。因为===c，所以A、B、C三点都在半球上。又因为，所以△CAB是半球的内接等腰三角形。 充分性证明：△CAB是半球的内接等腰三角形，且，，因为P是球心，所以。又因为P不在△CAB所在平面，所以存在，且且，，所以存在符合要求的四面体P-