吉大《应用数学基础》-奥鹏教育.docVIP

吉大《应用数学基础》第二部分 课堂笔记 目 录 目 录 I 第2章 矩阵 1 第1节 矩阵的概念及其运算 1 1.1 矩阵概念的引入 1 1.2 矩阵的运算 3 第2节 矩阵的秩与初等变换 8 2.1 矩阵秩的概念 8 第3节 逆矩阵及其求法 13 第3节 逆矩阵的求法 15 第4节 几种特殊的矩阵和分块矩阵 17 第2章 矩阵 第1节 矩阵的概念及其运算 1.1 矩阵概念的引入 线性方程组 如果给出全部系数和常数项，那么这个线性方程组就确定了，至于用什么文字来代表未知量并不是实质的，如果我们把方程组中的未知量和运算符号去掉，方程组的系数和常数项按原来的位置就排成一个矩形表，线性方程组的系数与常数项按照原位置可排为 对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究。 一、矩阵的定义 由个数排成的行列的数表 称为矩阵。简称矩阵。记作 简记为 。 红色称为主对角线，蓝色称为副对角线。这个数称为的元素，简称为元。 二、几种特殊矩阵 （1）行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵。也可记作。 例如 是一个3阶方阵。 （2）只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量）。 只有一列的矩阵，称为列矩阵（或列向量）。 （3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或。 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的。 例如 。 （4）方阵 称为单位矩阵（或单位阵） 三、同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。 例如 与为同型矩阵。 两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即 则称矩阵与相等，记作。 例2.1 写出矩阵其中。 解 因为 所以 例2.2 求，使得其满足 解 根据矩阵相等的定义，得方程组 从而得 。 1.2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义：设有两个矩阵，，，那么矩阵与的和记作+，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 例如 矩阵加法的运算规律 （1） （2） （3） 称为矩阵的负矩阵。 （4） 二、数与矩阵相乘 1.定义 数与矩阵的乘积记作或，规定为 数乘矩阵的运算规律（设、为矩阵，，为数） （1） （2） （3） （4） 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 例2.3 设，，求。 解 =， 三、矩阵的乘法 1.定义 设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中 并把此乘积记作 。 由矩阵乘矩阵得，可由如下图示来帮助记忆： 就是的第行与的第列的对应元素的乘积之和。 例2.4 例2.5 设 解 因为，，所以。 故 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。 例如 不存在。 。 。 2.矩阵的乘法的运算规律 （1） （2） （3） （其中为数） （4） （5）若是阶矩阵，则为的次幂，即并且，。 （，为正整数） 注意 矩阵的乘法一般不满足交换律，即：。 例 设 则 ， ， 故 。 注意 （1）一般情况下，有意义，不一定有意义，即使，都有意义，也未必有。 （2）消去律对矩阵乘法不成立，即若时，即使，一般情况下，也并不成立，亦即若乘积是零矩阵，一般情况下，不能断定或。 如 设 四、转置的矩阵 1.定义 设矩阵，称矩阵 ， 为的转置矩阵，由定义可知，将的行与列互换既得到转置矩阵。 例2.6 ，，， ， 2.转置矩阵的运算性质 （1） （2） （3） （4） 例2.7 已知 ，，求。 解法1 因为 所以 解法2 五、方阵的行列式 1．定义 由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或。 例 则 2. 运算性质 （1） （2） （3