(课题：8.1椭圆及其标准方程三.docVIP

课 题：8．1椭圆及其标准方程（三） 教学目的： 1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决 教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹 教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.椭圆标准方程： （1） 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 （2） 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程 其中 在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小) 二、讲解范例： 例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹） 解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上， 所以有 ，即 所以点的轨迹是椭圆，方程是 （2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为 因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上， 所以有 ，即 所以点的轨迹是椭圆，方程是 例2 已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程 解：设动点的坐标为，则的坐标为 因为点为椭圆上的点， 所以有 ，即 所以点的轨迹方程是 例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程 解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 因为， 所以有 ，即 所以点的轨迹方程是 例4 已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： 上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 解 已知圆可化为： 圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以， 即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是： 三、课堂练习： （1）已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ） A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D （2）已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. 答案：A （3）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) 答案：D (4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是_____ 答案： （5）过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 答案： （6）过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是______ 答案： 四、小结 ：用转移法求轨迹方程的方法 转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系 五、课后作业： 1．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹. 选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想. 解：设点M的坐标为，则点P的坐标为. ∵P在圆上，∴，即. ∴点M的轨迹是一个椭圆 2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程. 选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍. 解：设顶点A的坐标为. 依题意得 ， ∴顶点A