离散的数学结构课后习题解答..doc

离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论 刘国荣 交大电信学院计算机系 离散数学习题解答 习题一 （第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧ x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B=? 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n?n?I?(?m?I)(n=2m+1)}； 2）{n?n?I?n?0?n7}； 3）{p?p?N?p2?p30??(?d?N)(d?1?d?p?(?k?N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1）??? 2）?∈? 3）??{?} 4）?∈{?} 5）{a，b}?{a，b，c{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}?{ab，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为?是集合{?}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c{a，b，c}}的元素； 7）a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，={{a}，{b}}，a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A∈C。 3）假。例如A={a}，B={ab}，C={{a}，ab}，从而ACB∧B∈C，但A∈C。 5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B?C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B?C，则A?C。 3）如果A?B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A?B∧B∈C，则A?C。 [解] 1）真。因为B?C??x（x∈B?x∈C），因此A∈B?A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}b}，{c}}从而A∈B∧B?C，但A?C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{aa，b?B∧B∈C，但A?C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{ab}，b}，从而A?B∧B∈C，但A?C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{bc}} 3）{?} 4）{?，{?}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{?，{a}，{b}，{c}，{a，ba，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{?，?}} 4）{?，{?}，{{?}}，{?，{?}}} 5）{?，{{a，b}}} 7．给定自然数集合N的下列子集： A={1，2，7，8} B={ x|x2＜50} C={x|x可以被3整除且0≤x≤30} D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6} 列出下面集合的元素： A∪B∪C∪D A∩B∩C∩D B\（A∪C） （A′∩B）∪D [解] 因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此 1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，30，32，64} 2）A∩B∩C∩D=? 3）B\（A∪C）={4，5} 4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，3264} 8．设A、B、C是集合，证明： 1）（A\B）=A\(B\C) 2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C） 3）（A\B）\C=(A\C)\B [证明] 1）方法一：（A\B）\C =（A∩B′）∩C′ （差集的定义） =A∩（B′∩C′） （交运算的结合律） =A∩（B∪C）′