空间向量在立体几何中的应用学案..doc

空间向量在立体几何中的应用 课前自主学案 知识梳理 1．利用向量证明平行 (1)证线线平行(面面平行)方法：a＝λb(b≠0) ?a∥b. (2)证线面平行方法：方法1：利用共面向量定理，如果两个向量a、b不共线，则向量 c与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使c＝xa＋yb.方法2：证平面的法向量与该直线垂直． 2．利用向量证明垂直 (1)证线线垂直方法：a·b＝0?a⊥b. (2)证线面垂直方法：转化为证线线垂直. 方法2：在二面角的棱l上确定两个点A、B，过A、B分别在平面α、β内求出与l垂直的向量n1、n2(如右图所示)，则二面角α－l－β的大小等于向量n1、n2的夹角，即 基础自测 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM(　　) A．是AC与MN的公垂线 B．垂直于AC，但不垂直于MN C．垂直于MN，但不垂直于AC D．与AC、MN都不垂直 课内探究学案 课后训练学案  第 2 页 共 8 页 (2)直线和平面所成的角 法向量法：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角． (3)求二面角的大小 方法1: 构造二面角α－l－β的两个半平面α、β的法向量n1、n2(都取向上的方向)，则 ①若二面角α－l－β是“钝角型”的(如图甲)，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即 ②若二面角α－l－β是?°锐角型?±的(如图乙)，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，即 　 图甲　　　　　　　　　图乙　　 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(　　)