立体几何的几个创新视角1..doc

高考立几题的几个创新视角 　　　　　福建省永定县城关中学 364100 童其林 立体几何历来是高考改革的一块试验田.随着高考改革的不断深入，独具匠心的立体几何创新试题层出不穷，常令人目不暇接，望“题”赞叹.那么高考创新试题的从何处、用什么方法进行创新设计呢？ １“大跨度组合”的视角 “组合即创造”.艺术和科学上的许多事实印证了这一点：达芬奇将数学中的“透视法”和绘画结合起来使绘画艺术进入一个新境界，孟德尔将“概率统计”和生物学结合起来创立了遗传学，牛顿和莱布尼兹则将微分和积分结合起来发明了微积分.高考强调在知识的交汇处设计试题，这就使实现大跨度组合成为了可能，近年在许多省份出现了这样的试题，为逐步摆脱题海战术，起到了良好的导向作用. 例1（2004年北京卷，理第4题）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） A．直线 B．圆 C． 双曲线 D． 抛物线 分析　P到CD的距离就是线段PC的长，所以问题转化为求动点P到定点C与到定直线BC的距离相等的轨迹，由圆锥曲线的定义知这个轨迹是抛物线，选D. 说明　本题将立体几何中的“距离”与解析几何中的“轨迹”巧妙地组合起来，揭示了不同数学分支之间的内在联系，令人倍感清新和谐、回味无穷.无独有偶,2004年的重庆高考题也很类似.请看: 例2 (2004年重庆卷(理)第12题) 若三棱锥侧面内一动点P到底面的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成的图形可能是  分析 利用普性遍与特殊性的关系，首先考虑特殊图形，当AC⊥平面BCD时，问题化为点P到AB和BC距离相等的点的轨迹.显然，P 点的轨迹是∠ABC的平分线.如图所示. 当AC不垂直平面BCD时，如图所示，设P到平面DBC和到边BC的距离分别为h、dBC ，设A－BC－D的大小为，则≤1，所以选（D）. 评注 显然在这个相类似的问题中,重庆的题目比北京的要难一些． 例3（2009年高考湖北卷理科第9题）设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 解析 这道题如果仅用初等方法则很可能陷入困境，利用导数即能达到柳暗花明：设球半径为r,则r=R（t）.球体积. 依题意. 球表面积. 可知球的表面积的增长速度与球半径成反比，且比例系数为2C，故选D. 2 “归纳、类比”的视角 开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的”.立体几何是考查学生思维能力和空间想像能力的绝好素材，归纳、类比是思维能力的重要组成部分，因此立体几何便成为类比创新型试题的最佳载体.此类题型在近年高考中频频出现，有效地考查了学生的创新能力. 例4 (2003年全国文科高考题)在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .” 分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 　面 边 　　体 积 面 积 ； 二面角 平面角 　　面 积 线段长； … … 勾股定理揭示了一个直角三角形的两条直角边与斜边三者的关系.由类比得知，要探讨的是题设的三棱椎A－BCD的三个侧面与底面之间的面积关系.为了方便计算，可取一特殊三棱椎A－BCD，它的三条侧棱两两垂直，且AB＝AC＝AD＝1，则S=S =S=,S=. 由于()+()+()=() ，由类比法得到＋＋＝.更一般的解法请读者自己完成. 例5 (2004年上海春季高考题) 在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明. 分析 根据类比猜想得出.其中为侧面为与所成的二面角的平面角. 证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理： ， 同乘以，得 即 评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推