第1讲　变化率与导数导数的运算..doc

第1讲　变化率与导数、导数的运算 【2013年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 　 基础梳理 1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为. 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝ li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li . (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′. 4．基本初等函数的导数公式 若f(x)＝c，则f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1； 若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； 若f(x)＝ax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a； 若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex； 若f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝； 若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. 5．导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝　(g(x)≠0)． 6．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. 一个区别 曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别： 曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则 (1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏． 双基自测 1．下列求导过程中 ①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝ ；④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln aln a＝axln a 其中正确的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)． A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案　C 3．(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力． y′＝＝，把x＝代入得导数值为. 答案　B 4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)． A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C. 答案　C 5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；li ＝________(用数字作答)． 答案　2　－2　　 考向一　导数的定义 【例1】?利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点． [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键． 解　f′(x0)＝ ＝ ＝ (x2＋xx0＋x)＝3x. 曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为 y－x＝3x·(x－x0)， 即y＝3xx－2x，由 得(x－x0)2(