第一章动力系统的基本概念..doc

动力系统的基本概念 本章介绍动力系统的概念。首先，我们定义动力系统，并给出一些实例，说明动力系统的广泛性。其次，介绍与微分动力系统理论相关的一些概念及基本性质。本章的内容是全课程的基础。 动力系统的定义 动力系统的概念是一个确定性的过程的一般科学概念的数学形式化。对许多科学领域，如物理、化学、生物、生态、经济和社会系统等，可以通过其当前状态和演化规则来预测其将来和过去的状态。倘若这些规则不是随时间变化的，那么这些系统的状态由它的初始状态完全确定。因此，动力系统的概念包含过程所有可能的状态的集合（状态空间）以及状态随时间的演化规则。首先，我们分别讨论这两个要素，并给出动力系统的定义。 1.1.1 状态空间 一个系统的所有可能状态由某个集合上的点刻画，这个集合就称为该系统的状态空间（常称为相空间）。事实上，点不仅描述了系统当前的位置，而且确定了它的演化规则。各个的自然科学分支提都供了适当的状态空间。如下是一个经典力学中的例子。 图1.1 理想摆 例1.1（摆） 一个理想摆的状态完全由铅直角位移和相应的角速度（见图1.1）确定。注意到角不能单独确定摆将来的位置。因此，关于这个简单的力学系统，其状态空间是，其中是由角确定的单位圆，是相应于所有可能角速度集合的实轴。集合可视为上的一个二维光滑流形（柱面）。 例1.2（一般力学系统）在经典力学中，带有个自由度的孤立系统的状态由一个实向量： 来刻画，其中是广义坐标，是相关的广义动量。因此，在这种情形下，。如果有个坐标是循环的，则。在摆的情形，，，且。 例1.3（量子系统）在量子力学中，具有两个可观状态的系统状态为 其中 是复数，成为振幅且满足 以第个状态决定系统的概率为，。 例1.4（化学反应堆）一个混合等温反应堆的状态由个起反应作用的化学物质的浓度来表示，即 显然，浓度必须是非负的。这样， 。 如果浓度从一点变到另一点，反应堆的状态由反应物分布状态表示。这些函数定义在有界域（反应堆内部），并刻画点邻近的物质的局部浓度。因此，在这种情形下，状态空间是由向量值函数组成的函数空间，其中满足某些光滑条件和边界条件。 例1.5（生态系统）类似于前面的例子，在某个区域中，一个生态群落的状态由一个非负元素的向量表示，即 或向量函数表示，即 ， 其中是第个种群的数量（或 密度）。 例1.6（符号动态）取数字1和2作为两个符号集，记整数集为。任意取的元素可排列成如下的双向无限的二重序列： 其中，。式(2.1)所确定的称为一个符号序列。注意，一个序列的中位置（零位置）必须指出，例如，有两个不同的周期序列都可以写成： 一个是，另一个是。 在上面来源于力学、化学和生态等学科领域的例子中，状态空间或是一个为实向量空间或是某个实空间上的（子）流形（超曲面）。 1.1.2 流 动力系统的主要成分是一个演变规则。倘若给出一个初始状态，我们就可以根据这个演变规则确定系统在时间上的状态。在一般情况下，对每个固定的时间，这种演变则在状态空间上定义了一个传递映射，记为 其将初始状态传递到时刻的状态，即 映射往往称为动力系统的演变算子。有些情况下，演变算子可以是显式的。然而，在大多数情况中，是间接定义的，但可以通过近似计算得出。在连续时间情形，演变算子族称为流。为了叙述方便，有时将演变算子直接称为流。 注意到不一定对所有有定义。如果一个动力系统的演变算子对和有定义，就称其是可逆的。在这种系统中，初始状态不仅决定了系统的将来，也确定了系统的过去。然而，在通常情况下，考虑的系统其将来状态（）完全由初始状态确定，而过去历史状态（）不可明确的重构，我们称这种系统为不可逆的。不可逆动力系统由仅定义于上的演变算子来描述。在连续时间情形，演变算子族称为半流。 对于固定的，关于可以是局部的，例如，。这种情形的一个重要实例就是爆破（blow-up）问题，即在连续时间系统中，状态在有限时间趋向无限，亦即 。 演变算子（流）有两个反映动力系统性态特征的性质。一个是 其中是上的单位映射，对所有，性质（I）意味着系统自身不改变它的状态。另一个性质是 这意味着 。 本质上，性质（II）表明，系统从初始状态经时间段变化的结果与从经时间段变化的结果又经一个时间段的变化所得的结果相一直（见图1.2）。这个性质意味着，支配系统性态的规律不随时间改变。系统属于“自治”的。 对于可逆系统，演变算子对所有正的和负的，满足（II）。?在这类系统中，算子是的逆，，由于 。 如果时间取整数，则动力系统是离散的。一个离散动力系统由一个映射完全确定。利用性质（II），我们得到 ， 其中是映射的第二次迭代。类似地， 。 如果离散动力系统是可逆的，上面的等式对所有都成立，其中。