第一讲数列通项与求和..doc

第一讲 数列通项与求和复习 一、关于数列求通项 的求法 1.已知数列满足，求数列的通项公式. 2.数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式. 3.在数列(不是常数数列)中,且，求数列的通项公式. 4.已知，，,求. 5.在数列中， ，求数列的通项公式. 6.在数列中， ，求数列的通项公式. 7.已知，，求. 二、关于数列求和 的方法 Ⅰ、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： （正整数求和） 4、（平方和） （立方和） Ⅱ、错位相减法 设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法 1.（07高考天津理21）在数列中，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. Ⅲ、倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广），称之为倒序相加法 2.（07豫南五市二联理22）设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且点P的横坐标为. （1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若 Ⅳ、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3） （4） 3. （06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. Ⅴ、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 4.数列{an}的前n项和，数列{bn}满 . 三、数列综合应用 1．已知数列，设 ，数列. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求的值； （）当b=2时，记 求数列的前项和已知数列中，，且．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 求数列的通项公式； () 令，数列的前项和为，试比较与的大小； () 令，数列的前项和为．求证：对任意，都有 ．数列中, 已知 （1）求数列的通项公式（2）设,求数列的前项和，求.，2. ，3. ，4. ，5. ，6. ,7. 二、数列求和 1. 解：（1）由，， 可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为． （2）设，　　　① 　　　　　　　　② 当时，①式减去②式， 得， ． 这时数列的前项和． 当时，．这时数列的前项和 2. 解：（1）∵,且点P的横坐标为. ∴P是的中点，且 由（2）知， ，（1）+（2）得： 3.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 4. 解：（1）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。 解析：（Ⅰ）由， 两式相减得：， 同定义知是首项为1，公比为2的等比数列. （2） 等式左、右两边分别相加得： = 三、数列综合应用 1. 解：（1）由题意知， ∴数列的等差数列 （2）由（1）知， 于是 两式相减得 （3） ∴当n=1时， 当∴当n=1时，取最大值是 又 即解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 （2）当b=2时，, 则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得 所以 解：()由题知， ， 由累加法，当时， 代入，得时， 又，故．