刚性微分方程组隐式龙格库塔方法解读.docx

毕 业 设 计题 目：刚性系统的隐式RK方法学 院：数理学院专业名称： 信息与计算科学 学 号：201241210127学生姓名：丁楠指导教师：汪玉霞2016年05月15日摘要本文主要介绍单步隐式方法,简要的介绍了型隐式方法、型隐式方法和型隐式方法。并利用这些基本的隐式方法来对刚性方程组进行数值求解，并将隐式方法与显式经典方法求解的结果进行对比，说明两种数值解法的优缺点。关键词：刚性系统隐式方法单步方法迭代法AbstractThis paper mainly introduces the Implicit Runge-Kutta Methods and a simple description of Gauss implicit Runge-Kuttamethod ,Radau implicit Runge-Kutta method and Lobatto implicit Runge-Kutta method. These basic ImplicitRunge-Kutta methods are used to solve the stiff equations. These implicit Runge-Kutta methodsiarecompared with the classical explicit Runge-Kutta method. This paper explain the advantages and disadvantages of the two kind of numerical methods.Keywords:Stiff systemImplicitRunge-Kutta methodOnestep method Newton iterative method绪论1.1刚性方程对于一般的线性常系数系统为的矩阵，特征值为。定义1[23]若一个系统满足（1）（2）其中为刚性比，则这个系统称为刚性系统。定义2[27]若线性系统或非线性系统的矩阵或矩阵的特征值满足则其是刚性的。定理1（解的存在性与唯一性）（1）对于所有，函数是连续的；（2）对于任何，存在常数，是函数满足则初值问题有唯一解。其中，。其中被称为常数定义3如果一个常微分系统的常数很大(大于20)，则它是刚性的。1.2隐式RK方法的研究意义在常微分方程及常微分方程组的数值解法中，方法是目前应用最为广泛的数值解法之一，同时又具有误差小，精度高的特点。尽管显式方法能够非常准确、快速的给出大部分常微分方程组的数值解。但是在化学、自动控制电力系统等领域中，会出现一些病态的常微分方程组，也就是刚性方程组。刚性方程组对于数值解法的稳定性要求苛刻，比如方程组将其表示为矩阵形式：令发现特征值为：，，刚性比。方程组的解为：解由快瞬态和慢瞬态两部分构成。由于慢瞬态的部分，衰减变得十分缓慢。当自变量变到时，函数值还未下降到初值的，求解区间至少取为。另一方面，由于快瞬态的部分，衰减的非常快，因此步长要取得非常小。从绝对稳定性的方面来看，如果用四阶显式经典方法求解，绝对稳定区间要求，则要求。这样，在上就要计算步，计算量巨大，因此计算区间内的解时，舍入误差积累会特别严重。例如取求解区间为，用不同步长来计算和的值。利用四阶显式经典方法求解如下：0.042.9802322e+172.9802322e+170.029.9004983e-011.3929556e-240.019.9004983e-012.5300364e-430.0019.9004983e-013.7204130e-440.00019.9004983e-013.7200760e-44真值9.9004983e-013.7200760e-44很显然，保留八位有效数字的情况下，要保持良好的精度，步长要取得非常小，这就增加了计算量。而随着步长的加大，误差也会越来越大。当步长加大到绝对稳定与之外时（即），计算结果就完全不可信了。对于刚性方程组，显式方法已经远远不能胜任了，一般采用绝对稳定性更好的方法（如隐式方法）进行求解，本文采用单步隐式方法，而对于隐式方法中的级值得求解，本文采用迭代法。1.3RK方法的研究现状研究基于标准模型方程的方法的常见形式为：（显式）（隐式）因为方法是比较成熟的常微分方程数值解法。所以如今主要是对于经典的方法进行完善和扩充，在一定的条件下，提高级数以提高精度。或者是将方法与某些领域结合使用。在年，费景高[1]给出了一种显式并行方法，从而实现方法在多处理机上的应用。年，Enenkel和Jackson[2]实现了方法的对角隐式并行改进。年，廖文远和李庆扬[5]给出了一类求解刚性常微分方程的半隐式多步方法。年，张诚坚和余洪兵[3]针对非线性延迟系统构造了一类并行预校算法，给出其算法的