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第三部分 竞赛真题与模拟题及参考答案 第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷一（非数学类） 考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷难度系数：0.55 计算题（每小题5分，满分20分） 1. 计算： 2．确定自然数的取值范围，使函数在处的二阶导数存在。 3. 计算二重积分 4．求级数. 二、（本题满分10分）设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，的起点为终点为记 1）证明曲线积分与路径无关； 2）当时，求的值。 三、（本题满分10分）证明不等式其中为正方形区域： 四、（本题满分15分）已知曲线与处的切线相同，求此切线方程，并求 其中为一非零常数. 五、（本题满分15分）设函数定义在上，在内存在且单调下降，又证明：对于恒有 六、（本题满分15分）设具有二阶连续偏导数，且满足，试求函数u的解析式。 七、（本题满分15分）求出使得下列不等式对所有的自然数n都成立的最大的数及最小的数： 。 第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷一参考答案 计算题（每小题15分，满分60分） 1. 解： 易知 对进行变量代换，令则当时 并且因此有 由夹逼原理得 2．解：要使函数在处可导，应满足以下条件： 当时，对任意自然数，都存在，① 由于，要使此极限存在，应满足② 由①，②知在处的二阶导为 要使以上极限存在，应满足 ③ 由②，③知要使在处的二阶导存在，的取值范围为：。 3. 解：令抛物线将区域分成和两块，其中 在中，而在中 于是 4．则的收敛半径于是原级数的收敛半径 时，由于故该级数的收敛区域为 二、（本题满分20分）设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，的起点为终点为记 1）证明曲线积分与路径无关； 2）当时，求的值。 1）证明：由于 在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径无关。 2）解：由于曲线积分与路径无关，故可取路径为：由点到点再到点所以 令则 由条件，得 三、（本题满分20分）证明：由于关于对称，由对称性可知故 由于当时，所以 从而结论成立。 四、（本题满分20分），故 在点处的切线方程为： 得故，在上存在，由L—中值定理，使得 ① 同理可知，使得 ② 由于函数单调下降，且故有于是得 由以上①，②两式得： 即： 六、（本题满分15分）解： ， 由得： 设，则 所以 于是由 得 七.（本题15分）解：令，则， 同理可得 代入原方程化简得 解此二阶常系数非齐次微分方程，得其通解为：， 故，函数u的表达式为， 其中为常数。 七.（本题15分）解：要证， 即证，即证， 令，则=， 令，则 在上单调递减，，在上单调递减 ，在上单调递减 所以， 第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷二（非数学类） 考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷难度系数：0.6 一.填空题（本题共有5小题，每小题2分，满分10分） （1）= (2) 设，则 （3）设 ,= （4） 函数 的单调减少区间为 （5） 0 二．（本题满分10分）设 （为正整数）， （1）求在闭区间上的最大值；（2）求 三．（本题满分10分）设函数 （1）为何值时，在点处连续； （2）为何值时，为的可去间断点。 四（本题满分10分，每题5分） 设函数，试求，并讨论在处的连续性。 设，求 五．（本题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线方程。 六．（本题满分10分）已知由方程所确定，求。 七．（本题满分10分）设函数连续，且，求极限。 八．（本题满分10分）已知,求 九．（本题满分10分）设是上连续、正值偶函数，又设 ， （1）试证： ：（2）求最小值点。 十．（本题满分10分）设函数在上连续，在内可导， 且，。试证必存在，使。 第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷二参考答案 一.填空题（本题共有5小题，每小题2分，满分10分） （1）= (2) 设，则 （3）设 ,= （4） 函数 的单调减少区间为 （5） 0 二．（本题满分10分）解： 令，得，， 当时，；当时，； 故为的极大值点，为对应的极大值。 又故即为在闭区间上的最大值： （2） 三．（本题满分10分）解：因为 命，即，解得， 当时，，故在点处连续。 当时，，故为的可去间断点。 四（本题满分10分，每题5分）（1）解：当时，； 当时， ， 因此， ，， 因此，在处连续。 （2）解： 五．（本题满分10分）解：由直角坐标与极坐标之间的关系 得到此曲线的参数方程： 以代入，得到切点坐标为 由参数方程求导公式得切线斜率为 所以曲线切线、法线的直角