第二节二重积分的极坐标部分的计算2（讲稿）201242..doc

§9.2 二重积分-----2 教学目的：了解二重积分的极坐标计算公式导出的方法；熟练掌握极坐标系下的二重积分公式；熟练掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；并能根据条件选择合适的方法计算积分. 重点及难点：能熟练正确地进行极坐标系下的二重积分的计算；掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；根据条件选择合适的方法计算积分. 教学方法:直观教学，启发式讲授 （续：在极坐标系下二重积分的计算） 四、利用极坐标计算二重积分 1．极坐标的相关知识 （1）极点、极轴、极径、极角 （2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有 直角坐标与极坐标的互化公式 或 （3）常见曲线的极坐标方程 （从极点出发的射线）； （直线）； （圆）； （圆）； （圆）. 2．极坐标系中的面积元素 . 见图知: . 上式取，略去高阶无穷小量， 推出 . 3．用极坐标系计算二重积分 . 其中: . 结论：即极坐标系下的二重积分也要化成二次累次积分才能计算. 4．用二次累次积分公式计算二重积分 (1)若[极扇环，极点在扇环外], 则 . (2) 若(极点在边界上 的极扇形),则 . (3) 若 (极点在内部的极扇形),则 . 例1（1）计算， 其中是由中心在原点，半径 为的圆周所围成的闭区域 . （此积分无法用直角坐标积分计算）. 解 利用极坐标积分，积分区域为 , 则 . （2） 计算二重积分，其中区域是由所围成的圆域. . （3）计算，其中是圆周 所围成的闭区域. 解：圆的极坐标方程为，积分区域 . （4）计算积分 ，为圆环与直线所围城的第一象限内 的区域. 解 ， . (5)(00.6) 计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域. 解　积分区域可表示为 , 于是 , 5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便. （1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单； （2）当被积函数可以表示为时. （前面讲过的例9） （1）求由,圆柱面 及抛物面 所 围成的曲顶柱体体积. 解 . 例3 化下列二重积分为极坐标形式 （1）. （2）. （3） . （4） . （5） （6） (7) . 6. 极坐标系下积分区域的面积为 . 提问(96.3) 累次积分可以写成 (A) (B) (C) (D) 答(D).因为积分区域的边界可以表示成 且 于是 故累次积分可写成或 . 例4（1）(04.8) 求, 其中是由圆和 所围成的平面 区域(如图). 提示　将积分区域分为大圆 , 与小圆之差. 由对称性知 .  , （2）(05.9) 计算二重积分, 其中 . 提示　将分成与两部分,其中 , 则 推出 . 五、广义二重积分（无界区域上的反常二重积分） 无界区域上的反常二重积分是概率统计中广泛应用的积分形式。和一元函数类似，一般是在有界区域内积分，再求极限使有界区域趋于原无界区域。以下举例说明常见的广义二重积分 例5 证明，.（泊松积分） 【 ， 】 证明 因为 . 所以 . 另证 设，且 一方面 ； 另一方面 由. 证法三：设 ， . 作积分区域矩形的内切圆与外接圆，由夹逼原理得 则由 得 ， 将上式取求极限得 ，即. 例6 (90.5) 计算二重积分 , 其中是由曲线和 在第一象限所围成的区域. 解　积分区域可表示为 ， . 小结： 1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分，简化二重积 分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示. 学会灵 活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化. 2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用. 3.下列两种情况用极坐标计算简便. （1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单； （2）当被积函数可以表示为时. 4. 极坐标系下积分区域的面积为 . 课后记：存在问题:不能正确表示出二次累次积分;不能正确进 行直角坐标与极坐标二重积分的互化;不能正确写出积分限. 计算错误多. 10