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第10章 轴对称全章复习与测试 一、解题规律 方法技巧 1．利用等腰三角形的性质求角的度数 【例1】 已知：如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求：∠BAC的度数． 分析 本题是已知边，求角的问题，所以应选择“等边对等角”将边相等转化为角相等． 解析 ∵AP=AQ=PQ， ∴∠APQ=∠PAQ=∠AQP=60°． ∵∠AP=BP，AQ=QC， ∴∠ABP=∠BAP，∠QAC=∠ACQ． 又∠ABP+∠BAP=∠APQ，∠ACQ+∠QAC=∠AQP． ∴∠BAP=30°，∠QAC=30°． ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=120°． 方法点拨 分析几何问题的方法：首先，通过已知条件联想学过的知识．其次，根据结论考虑需要的条件．在分析过程中，这两点交替进行，题目与图形结合使用，一般题目均可得以解决． 2．利用等腰三角形的轴对称证明角（线段）相等 【例2】 如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，则∠ABE与∠ACE的大小关系是什么？试说明理由． 分析 等腰△ABC中，AD为BC边上的中线，即AD为它的高，所以AD所在的直线为它的对称轴．△ABE与△ACE关于直线AD对称，则∠ABE=∠ACE． 解析 ∵AB=AC，且AD为底BC的中线， ∴AD⊥BC，即AD所在的直线为△ABC的对称轴． 又∵E为AD上一点， ∴△ABE与△ACE关于AD所在的直线对称． ∴∠ABE=∠ACE． 方法点拨 此题体现了轴对称的思想，在证明线段或角相等时，应注意联想轴对称的知识，有意识的用对称的知识解决这类问题． 3．运用轴对称性设计图案 【例3】 金星村拟建造农民文化公园，将12个场馆排成6行，每行4个场馆，村委会将如图1的设计公布后，引起了一群初中生的好奇，他们纷纷设计也不少精美对称的图来，请你也设计一张符合条件的新图． (1) (2) 分析 本题是一道图案设计题，设计时既要将12个场馆排成6行，且每行有4个场馆，又要设计出精美的对称图形，应灵活运用轴对称的性质设计． 解析 本题答案不唯一，下列答案供参考，如图2． 方法点拨 本题不仅考查学生的想像能力，同时还考查学生图案设计能力，本题称得上一道融知识、技能、技巧综合素质的创新试题． 4．观察、猜想、探求规律 【例4】 如图①所示在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF．若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明． 分析 本题是一道阅读理解题，又是一道探索性试题，在图②中，作PE、CF后，显然有PDCF．由图①的结论，可以猜想出PD、PE、CF之间的关系应为PD=PE+CF，欲证明这一结论，可以利用面积法，即S△ABP=S△ABC+S△ACP， S△PAB=S△APC+S△CAB， AB·PD=AB·CF+AC·PE． ∵AB=AC，∴PD=CF+PE． 方法点拨 本题通过阅读题中提供的信息，获得探索解决问题的方法．考查了学生探索创新能力，另外本题采用等积法来解决问题，这种方法使问题化难为易，这在几何中是常用到的方法，在学习中应注意体会运用．若本题中的点P在CB的延长线上，你能猜想出PD、PE和CE之间有何关系吗？又如何证明呢？ 【例5】 （1）（2005·江西省）如图1，一轴对称图形画出它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半． (1) (2) （2）（2005·吉林省课改区）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） 分析 （1）找出关键的三个点，作它们的对称点．（2）A、B、C、D中的图案都是组合图案，等边三角形有三条对称轴，经观察易知B、C、D各有一条对称轴，A中图案没有对称轴． 解析 （1）如图2所示．（2）A 【例6】 （2005．浙江金华）如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2，下列关于图2的四个结论中