5.3定积分的应用讲解.ppt

函数与极限 5.3 定积分的应用 * * ○ 5.3.1 直角坐标系中平面图形的面积 ○ 5.3.2 极坐标系中平面图形的面积 ○ 5.3.3 旋转体的体积 ○ 5.3.4 定积分在物理上的应用 ○ 5.3.5 定积分在医学上的应用 微分的积累 先找出原函数的微分,再进行积累,通常称为微元法 微元法基本步骤可分为两步： 5.3.1 直角坐标系中平面图形的面积 定义1 两条连续曲线y=g(x), y=h(x) [ g(x)≤h(x)]及两条直线x=a,x=b (ab)围成图形,称为x-型区域 x-型区域可用不等式表示 a≤x≤b，g(x)≤y≤h(x) 定理1 x-型区域a≤x≤b，g(x)≤y≤h(x)的面积为 证 取微元[x,x+dx],小曲边梯形dA=[h(x)-g(x)]dx 故整个x-型区域面积为 定义2 两条连续曲线x=i(y),x=j(y) [i(y)≤j(y)]及两条直线y=c, y=d(cd)围成的平面图形,称为y-型区域 y-型区域可用不等式表示c≤y≤d，i(y)≤x≤j(y) y-型区域的面积为： 例2 求y=3+2x-x2、y=0、x=1、x=4围成图形面积 D1：1≤x≤3，0≤y≤3+2x-x2 D2：3≤x≤4，3+2x-x2≤y≤0 例3 由对称性,计算一象限x-型区域 定理2 5.3.2 极坐标系中平面图形的面积 例4 计算阿基米德螺线 与极轴围成图形的面积 解：区域不等式为： 定理3 曲边梯形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转生成旋转体的体积为： 5.3.3 旋转体的体积 y-型区域c≤y≤d，i(y)≤x≤j(y)绕y轴旋转 例5 绕x轴旋转所得椭球体的体积 上半椭圆绕x轴旋转所得体积 x-型区域a≤x≤b，g(x)≤y≤h(x)绕x轴旋转 解： 例6 反应罐椭圆封头是下半椭圆绕y轴旋转生成 一个不变力F使物体沿力方向产生位移s,作的功为：W=F·s 5.3.4 定积分在物理学上的应用 例7 弹簧拉长s，计算拉力作的功 弹簧一端固定,另一端未变形位置为原点建坐标系 Hook定律：弹性限度内拉力与伸长长度成正比 取微元[x,x+dx] [0,s] 微元上拉力作功： dW=kxdx 例8 等温过程,气缸气体膨胀推动活塞从s1到s2作功 以气缸底为原点建坐标系 设气缸横截面积为A，气体推动活塞压强为p 等温过程pV=pAx=C 2、 液体压力 若液体比重为γ,则液体表面下深度h处,液体的压强为：p=γh 例9 高为2m的等腰三角形闸门,底边长3m,平行于水面,且距水面4m．求这闸门所受的压力 x轴过等腰三角形的高, y轴于水面,建坐标系 取微元[x,x+dx] [4,6] dF=p·2ydx=2γxydx 一象限腰的直线方程 y=0.75(6-x) 例10 矩形薄板长2m,宽1m,成30°角斜沉水下,长边平行于水面深1m处,求薄板每面所的压力 x轴向下,y轴于水面建坐标系 上长边x坐标为1， y坐标为 1+sin30°=1.5 取微元[x，x+dx] [1，1.5] dF=p·2dx=2γxdx 5.3.5 定积分在医学上的应用 例12 药物从患者的尿液中排出，排泄速率为时间t的函数r(t)=te-kt，其中k是常数，求在时间间隔[0，T]内排出药量D． 解 在时间间隔[0，T]内排出药量D为排泄速率的定积分，计算得到 例13 设有半径为R，长为L的一段刚性血管，两端的血压分别为P1和P2（P1P2）,已知在血管的横截面上离血管中心r处的血流速度符合Poiseuille公式 其中η为血液黏滞系数．求在单位时间流过该横截面的血流量Q 解 取微元[r，r+dr] [0，R]，半径为r、r+dr圆环微元的面积为 单位时间流过圆环微元的血流量为 [0，R]上积分计算横截面的血流量得到 例14 先让病人禁食，以降低体内血糖浓度，然后通过注射给病人大量的糖，再测出血液中胰岛素的浓度．假定由实验测得病人的血液中胰岛素的浓度（单位/ml）为 （0≤t≤5） （t＞5） 其中k＝ln2/20，时间t的单位是分钟，求血液中胰岛素在一小时内的平均浓度 解 5.3.6 定积分在经济分析上的应用 1、由边际经济函数求原函数 给定一个经济函数F(x)（比如需求函数Q(P)、总成本函数C(x)、总收入函数R(x)和利润函数L(x)等），对其微分则会产生边际函数F?(x)（比如边际需求函数）．由于积分过程是微分过程的逆过程，它使我们可以从已知的边际函数F?(x)求不定积分，反推出原经济函数： 其中，积分常数C可由经济函数的具体条件确定． * *