5.3_留数在定积分计算中的应用讲解.ppt

* 第五章 留数及其应用 §5.3 留数在定积分计算中的应用 * §5.3 留数在定积分计算中的应用 一、形如 的积分 二、形如 的积分 三、形如 的积分 一、形如 的积分 方法 (1) 令 则 要求 是 u, v 的有理函数， 即 是以 u, v 为变量 的二元多项式函数或者分式函数。 方法 即 是以 u, v 为变量 要求 是 u, v 的有理函数， 一、形如 的积分 的二元多项式函数或者分式函数。 其中， 是 在 内的孤立奇点。 (2) 可知被积函数的分母不为零， 因而积分是有意义的。 解 由 及 (1) 令 则 解 (2) 函数 有两个孤立奇点： 在 内， 二阶极点 一阶极点 ( 注意：一阶极点 不在 内 ) 解 (3) 事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。 利用洛朗展开 求该点的留数 解 (3) (1) 令 则 解 由于 为偶函数， 记 解 有两个一阶极点： 在 内， (2) (实数) 其中，P (x) , Q(x) 为多项式； (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次； (3) 分母 Q(x) 无实零点。 推导 (略) 其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。 要求 (1) 方法 二、形如 的积分 (进入推导?) (1) 令 解 (2) (3) 在上半平面内，i 与 3i 为 一阶极点 。 在上半平面内，a i 与 bi 为一阶极点。 (1) 令 解 (2) (3) (1) 记 解 在上半平面内， 为两个一阶极点。 令 (2) (3) 三、形如 的积分 (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次； (3) 分母 Q(x) 无实零点。 其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。 其中，P (x) , Q(x) 为多项式； 要求 (1) 方法 三、形如 的积分 其中，P (x) , Q(x) 为多项式； (2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次； (3) 分母 Q(x) 无实零点。 要求 (1) 方法 推导 (略) 记为 特别 (进入推导?) 在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。 (1) 令 解 (2) (3) (2) 在上半平面内， i 为一阶极点， (1) 令 解 (2) 同理 (3) 附：关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况 若 在上半平面有孤立奇点 结论 在实轴上有 孤立奇点 则 其中， 为第二、三型积分中的被积函数。 (1) 令 解 (2) 在实轴上， 为一阶极点， 附：关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况 休息一下 …… 附：求函数