5.3迭代法讲解.ppt

第三节 迭代法 求解 一. 迭代法的基本思想 B：迭代矩阵 二 . 雅可比（Jacobi）迭代法 建立与式(1)相等价的形式： 例如：考虑方程组 据此建立迭代公式： 一般地，设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立Jacobi迭代公式，即 由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式： 或 将系数矩阵分裂为： 其中 ? 雅可比迭代法的矩阵表示 BJ fJ Jacobi迭代矩阵 例1：设方程组为 解：Jacobi迭代格式为 试写出其Jacobi迭代格式。 注意到利用Jacobi迭代公式计算 时，已经计算好了 的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些必威体育精装版的近似值计算， 仍用 这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用必威体育精装版的迭代值，得到 上式称为 Gauss-Seidel 迭代公式. 三. 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 … … … … 即： 将矩阵A分裂为： BG-S fG-S 矩阵形式： 例1的Jacobi 迭代公式为 例1的Gauss-Seidel 迭代公式为 思想 类似于G-S迭代法的改进方法，利用第k次 迭代值和第k +1次的G-S迭代值作加权平均 G-S迭代法的计算公式 ： 作加权平均 四、逐次超松弛迭代法（SOR方法） ?逐次超松弛(SOR)迭代法的分量形式： 利用高斯-塞德尔迭代法求得: 例1的SOR迭代公式为 例1的Gauss-Seidel 迭代公式为 五 迭代法的收敛性 推论 设 ， 其中 为非奇异矩阵 且 非奇异，则 (1) 解方程组的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ， 其中 (2)解方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛的充要条件是 其中 (3) 解方程组的SOR方法收敛的充要条件是 ， 其中 Jacobi迭代矩阵的特征方程的推导 Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程的推导 对方程组 通过调整方程的次序，建立收敛的Jacobi迭 代格式和Gauss-Seidel迭代格式. 解 将第二个方程调到第一行、第三个方 程调到第二行、第一个方程调到第三行后 有同解方程组 例: 其系数矩阵为严格对角占优矩阵，故Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法都一定收敛. Jacobi迭代格式为 Gauss-Seidel迭代格式为 SOR 迭代法收敛性的结论： 定理： （1）SOR迭代法收敛的必要条件为0 ?2 （2）若系数阵A对称正定，则当0 ?2时， SOR迭代法收敛 （3）若系数阵A严格对角占优，则当0 ??1时， SOR迭代法收敛。