6.微分方程讲解.ppt

第6章 常微分方程数值解法 1 引 言 2 简单的数值方法与基本概念 2.2 梯形方法 2.3 单步法的局部截断误差与阶 2.4 改进的欧拉公式 3 龙格-库塔方法 3.2 二阶显式R-K方法 3.3 三阶与四阶显式R-K方法 3.4 变步长的龙格-库塔方法 5 线性多步法 5.1 线性多步法的一般公式 5.2 阿当姆斯显式与隐式公式 5.3 预测-校正方法 6 一阶微分方程组和高阶方程 6.2 化高阶方程为一阶方程组 小结 常微分方程数值解法--基本概念 简单的数值方法 欧拉法、梯形方法、改进的欧拉公式 龙格-库塔方法 二、三、四阶龙格-库塔法、变步长龙格-库塔法 线性多步法 一般公式、阿达姆斯法、预报-校正法 一阶微分方程组和高阶方程 （5.17） 比 更好.称为对预测、校正值得修正。 但在 的表达式中 是未知的，因此计算时用 上一步代替，从而构造一种修正预测-校正格式 (PMECME ): 预测P： 修正M： 求值E： 校正C： 修正M： 求值E： 注意：在PMECME格式中已将（5.17）的 及 分别改为 及 . 6.1 一阶方程组 前面研究了单个方程 的数值解法，只要把 和 理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用 到一阶方程组的情形. 考察一阶方程组 的初值问题，初始条件给为 若采用向量的记号，记 则上述方程组的初值问题可表示为 （6.1） 求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为 式中 或表示为 其中 这里 是第 个因变量 在节点 的近似值. 考察两个方程的特殊情形： 这时四阶龙格-库塔公式具有形式 （6.2） 其中 （6.3） （6.3） 这是一步法，利用节点 上的值 ，由（6.3） 式顺序计算 ，然后代入（6.2） 式即可求得节点 上的 . 高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可 以归结为一阶方程组来求解. 例如，考察下列 阶微分方程 （6.4） 初始条件为 （6.5） 只要引进新的变量 即可将 阶方程（6.4）化为如下的一阶方程组： （6.6） 初始条件（6.5）则相应地化为 （6.7） 初值问题（6.4），（6.5）和（6.6），（6.7）是彼此等 价的. 特别地，对于下列二阶方程的初值问题： 引进新的变量 ，即可化为下列一阶方程组的初值 问题： 针对这个问题应用四阶龙格-库塔公式（6.2），有 由（6.3）式可得 如果消去 ，则上述格式可表示为 这里 要得到三阶显式R-K方法，必须 . 此时（3.4）， （3.5）的公式表示为 （3.11） 其中 及 均为待定参数，公式 （3.11）的局部截断误差为 只要将 按二元函数泰勒展开，使 ，可 得待定参数满足方程 （3.12） 这是8个未知数6个方程的方程组，解也不是唯一的. 可以得 到很多公式. 满足条件（3.12）的公式（3.11）统称为三阶R-K公式. 一个常见的公式为 此公式称为库塔三阶方法. 继续上述过程，经过较复杂的数学演算，可以导出各 种四阶龙格-库塔公式，下列经典公式是其中常用的一个： 四阶龙格-库塔方法的每一步需要计算四次函数值 ， 可以证明其截断误差为 . 例3 设取步长 ，从 直到 用四阶龙格 -库塔方法求解初值问题 解 这里，经典的四阶龙格-库塔公式（3.13）具有 形式 比较例3和例2的计算结果， 显然以龙格-库塔方法的精度为 高. 虽然四阶龙格-库塔方法的 计算量（每一步要4次计算函数 ）比改进的欧拉方法（它是 一种二阶龙格-库塔方法，每一 步只要2次计算函数 ）大一倍， 但由于这里放大了步长 ， 表3和表2 所耗费的计算量几乎相同. 龙格-库塔方法的推导基于泰勒展开方法，因而它要 求