(空间点、直线、平面之间的位置关系和平行判定习题.docVIP

1.点A在直线上,记作；点A在平面α内,记作；直线α在平面α内,记作. 2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理3 图形语言 文字语言 符号语言 3.公理的作用：（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；（2）公理2作用：确定一个平面的依据； （3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.. 空间两条直线的位置关系： . 等角定理：. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. . 公理4：. 公理4作用：判断空间两条直线的依据..直线与平面有三种位置关系： （1）—— 有无数个公共点 （2） —— 有且只有一个公共点 （3） —— 没有公共点 . 两个平面之间有两种位置关系： （1） —— 没有公共点 （2） —— 有且只有一条公共直线2.2? 直线、平面平行的判定及其性质 1.判定定理的符号表示为：. 2. 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定. 1.面面平行判定定理：．用符号表示为：. 14. 垂直于同一条直线的两个平面平行. . 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是. 16.线面平行的性质定理：18. 面面平行的性质：. 用符号语言表示为：. 19. 其它性质： ①； ?②； ③夹在平行平面间的平行线段相等. ．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF＝，则AB与CD所成的角为__________． ．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 3．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，并且有，，试证EF、GH、BD共点或两两平行． 4 已知异面直线a、b所成的角为60°，在过空间一定点P的直线中，与a，b所成的角均为60°的直线有多少条？过P与a、b所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？ 希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况： 已知异面直线a，b所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P的直线中与a，b所成的角均为θ的直线有多少条？ 5．已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，，求异面直线与MN所成角的余弦值。 6．如图，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AＢ、CD上，且，求证：EF∥平面β． 7．P是△AＢC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PＢC、△PCA、△PAＢ的重心， （1）求证：平面A′Ｂ′C′∥平面AＢC； （2）求S△A′Ｂ′C′∶S△AＢC． 8．如图，已知：平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，AC与ＢD为异面直线，AC＝6，ＢD＝8，AＢ＝CD＝10，AＢ与CD成60°的角，求AC与ＢD所成的角． 60°。2、证明：AB、CD、AD的中点E、G、F，连接EF、FG、GE，则∠EFG或其补角为异面直线BD、AC所成的角，且EF＝BD＝，FG＝AC＝，再取AC的中点H，则EH∥BC，HG∥AD， ∵AD⊥BC，∴EH⊥HG， ∴EG2＝EH2＋HG2＝1．在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1， ∴∠EFG＝90°，∴AC与BD所成的角为90°． ．证明：如图，连AC、EG、FH，在△ABC中， ∵＝， ∴EG∥AC．同理FH∥AC，于是根据公理4可知：EG∥FH． ∴E、F、H、G四点共面于α，于是EF与HG只有相交与平行两种可能． （Ⅰ）若EF与HG相交，设交点为P，则P∈EFì平面ACD． ∴P∈平面ACD，同理可知：P∈平面BCD． ∴P是平面ABD与平面BCD的公共点． ∴两平面的交线BD必过P点． ∴FE、GH、BD共点． （Ⅱ）若EF与HG平行，则必有EF∥BD． ∵EF、BDì平面ABD， ∴若EF与BD不平行，则EF与BD就相交，设交点为Q，则EFì平面EFHG，Q∈BDì平面BDC， ∴Q是平面EFHG