计算机代数系统第2章Maple微积分运算（修订稿）..doc

云心云尔： E-mail: zyy@ MSN: zyy@ 第二章 微积分运算 微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是Maple最为拿手的计算之一, 任何解析函数, Maple都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple都可以毫不费力的将它计算出来. 随着作为数学符号计算平台的Maple的不断开发和研究, 越来越多的应用程序也在不断地创设. 1 函数的极限和连续 1.1 函数和表达式的极限 在Maple中, 利用函数limit计算函数和表达式的极限. 如果要写出数学表达式, 则用惰性函数Limit. 若a可为任意实数或无穷大时, 求命令格式为: limit(f,x=a);求时的命令格式为limit(f, x=a, right); 求时的命令格式为limit(f, x=a, left); 请看下述例子： Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity); Limit((x^n-1)/(x-1),x=1)=limit((x^n-1)/(x-1),x=1); Limit(x^x,x=0,right)=limit(x^x,x=0,right); Limit(abs(x)/x,x=0,left)=limit(abs(x)/x,x=0,left); Limit(abs(x)/x,x=0,right)=limit(abs(x)/x,x=0,right); limit(abs(x)/x,x=0); 对于多重极限计算, 也用limit. 命令格式为: limit(f, points, dir); 其中, points是由一系列方程定义的极限点, dir(可选项)代表方向: left(左)、right(右)等. 例如: limit(a*x*y-b/(x*y),{x=1,y=1}); limit(x^2*(1+x)-y^2*((1-y))/(x^2+y^2),{x=0,y=0}); 由于多重极限的复杂性，很多情况下limit无法找到答案，此时，不应轻易得出极限不存在的结论，而是应该利用数学基础判定极限的存在性，然后再寻找别的可行的方法计算极限(如化n重根限为n次极限等)。如下例就是化二重极限为二次极限而得正确结果： limit((sin(x+y)/(sin(x)*sin(y)),{x=Pi/4,y=Pi/4})); limit(limit(sin(x+y)/(sin(x)*sin(y)),x=Pi/4),y=Pi/4); 1.2 函数的连续性 1.2.1 连续 在Maple中可以用函数iscont来判断一个函数或者表达式在区间上的连续性. 命令格式为: iscont(expr, x=a..b, colsed/opened); 其中, closed表示闭区间, 而opened表示开区间(此为系统默认状态). 如果表达式在区间上连续, iscont返回true, 否则返回false, 当iscont无法确定连续性时返回FAIL. 另外, iscont函数假定表达式中的所有符号都是实数型. 颇为有趣的是, 当给定区间[a,b] (ab)时, iscont会自动按[b,a]处理. iscont(1/x,x=1..2); iscont(1/x,x=-1..1,closed); iscont(1/(x+a),x=0..1); iscont(ln(x),x=10..1); 1.2.2 间断 函数discont可以寻找函数或表达式在实数域的间断点, 当间断点周期或成对出现时, Maple会利用一些辅助变量予以表达, 比如, _Zn~(任意整数)、_NZn~(任意自然数)和Bn~(一个二进制数, 0或者1), 其中n是序号. 判定f(x)间断点的命令为: discont(f, x); discont(ln(x^2-4),x); discont(arctan(1/2*tan(2*x))/(x^2-1),x); discont(round(3*x-1/2),x); 函数round为“四舍五入”函数，上例并非一目了然，对其进一步理解可借助于函数plot或下面给出的fdiscont例子。 另一个寻找间断点的函数fdiscont是用数值法寻找在实数域上的间断点. 命令格式为: fdiscont(f, domain, res, ivar, eqns); 其中, f表示表达式或者, domain表示要求的区域, res表示要求的分辨率, ivar表示独立变量名称, eqns表示可选方程. fdiscont(GAMMA(x/2),