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实验一 随机信号统计特性的测试 １．实验目的 ⑴ 了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等。 ⑵ 掌握随机信号的分析方法。 ⒉ 实验原理 在信号系统中，我们可以把信号可以分成两大类——确知信号和随机信号。确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性进行分析。我们在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。 随机过程的统计特性一般采用随机过程的分部函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整的描述。但是由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。以下算法都是一种估计算法，条件是N要足够大。 ① 随机过程的均值（数学期望）： 均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即： 均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 　 　 ② 随机过程的均方值： 信号x(t)的均方值E[x2(t)]()，或称为平均功率，其表达式为： 均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。 ③ 随机信号的方差： 信号x(t)的方差定义为： 称为均方差或标准差。 可以证明，其中：描述了信号的波动量；描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。在已知均值和均方值的前提下，方差就很容易求得了。　 随机过程的自相关函数： 。　相关是指客观事物变化量之间的相依关系，在统计学中是用相关系数来描述两个变量x、y之间的相关性，即 式中是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，表征了x、y之间的关联程度；、分别为随机变量x、y的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。在离散情况下，信号x(n)和y(n)的相关函数定义为： k=0,1,2,……。 是一个无量纲的系数，。当||＝１时，说明x、y两变量是理想的线性相关；＝０时，表示x、y两变量完全无关；0||1时，表示两变量之间有部分相关。 自然界中的事物变化规律的表现，总有互相关联的现象，不一定是线形相关，也不一定是完全无关，如人的身高与体重，吸烟与寿命的关系等。 随机信号的自相关函数表示波形自身不同时刻的相似程度。与波形分析、频谱分析相比，它具有能够在强噪声干扰情况下准确地识别信号周期的特点。下面是几种典型信号的自相关（互相关）函数： 正弦波函数的自相关： 正弦波与噪声的互相关函数： 正弦波与方波的互相关函数： 正弦波与三角波的互相关函数： 正弦波与小波信号的互相关函数： 正弦波与自身加噪声的互相关函数： 正弦波加噪声的自相关函数： ⑤ 随机过程的频谱： 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除只有一个频率分量的简谐波外一般很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量的大小。例如，下图是一受噪声干扰的多频率成分周期信号，从信号波形上很难看出其特征，但从信号的功率谱上却可以判断、并识别出信号中的四个周期分量和它们的大小。信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。 　 ?　 受噪声干扰的多频率成分周期信号波形和频谱 我们从傅氏变换的定义出发编写傅氏变换程序，来计算信号的频谱。当然，这种算法在实际应用过程中由于速度慢而不可取（实际应用中通常使用快速算法FFT）,这里我们只作为分析信号的一种方法供同学们参考，程序如下： m=n=0; m表示信号的实部，n表示信号的虚部 /********** 用定义计算FFT子程序 **********/ void fft(double signal[],int N1) { int j,i; double m,n; m=n=0; for(i=0;iN1;i++) { for(j=0;jN1;j+