论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性..doc

隐蔽化、多维化、开放化 ──论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性 杭州外国语学校 石润婷 【关键字】 数学建模 隐蔽化 多维化 开放化 【摘要】 数学建模是信息学奥林匹克竞赛的有机组成部分。当今信息学竞赛越来越追求数学建模的灵活性。其表现大致有模型的隐蔽化、多维化和开放化三条。本文通过对这“三化”的含义及表现的探讨，研究相应的解题策略。 一、引子 数学建模作为信息学奥林匹克竞赛的一个不可或缺的组成部分，自该竞赛诞生以来，一直在进化，在完善，在发展。当今信息学竞赛越来越追求数学建模的灵活性。也正是这种灵活性，使数学建模的魅力毕现，从而赋予信息学竞赛以无限的生命力和广阔的发展前景。 通过对一系列新兴竞赛题的考察和研究，我发现当今信息学竞赛中数学建模的灵活性可以概括为模型的隐蔽化、多维化和开放化这三条。下面，让我们通过对这“三化”的含义及其表现的探讨，以获得相应的解题策略。 二、主体 （一）隐蔽化 １、定义 　　“隐蔽”的本意是“借旁的事物来遮掩”。而具体落实到信息学竞赛中，“旁的事物”和被“遮掩”的对象便有了特定的指代。显然，从我们的论题便可一目了然：被“遮掩”的对象即数学模型；而“旁的事物”在这里指的是扑朔迷离的现实情景。 这样，信息学竞赛中数学模型隐蔽化的定义便显而易见了，即借扑朔迷离的现实情景来遮掩数学模型。 ２、表现 隐蔽化在信息学竞赛中的一大表现就是“老模型，新面孔”也就是说，沿用我们都熟悉的模型，而制造出全新的场景来容纳此模型，从而给原本赤裸裸的模型披上了新装，将它“掩护”起来。因而相同的模型，在不同竞赛题中的表现往往变幻莫测，如《最佳旅行路线》（NOI97）和《新型导弹》两题，就是典型的例子。题目请参阅附录一、二。 这两题前者描述的是一个由“林荫道”、“旅游街”组成的街道网格，而后者描述却的是一个“导弹爆炸”问题。因此，单从表面看，两者应该是风马牛不相及的。然而，两种截然不同的表面现象背后，恰恰蕴藏着相同的原型——求一维数列中“最大”（元素和最大）连续子序列的问题，即已知数列 求 　　　　 这两题有一个共同点，即题目本身并没有直截了当地将数学模型展现出来，而是通过对复杂的实际情景的具体描绘，要求选手自己从实际情景中归纳、抽象出数学模型。因而，它们充分地体现了信息学竞赛中数学模型的隐蔽化特点。 ３、策略——“拨开迷雾”法 虽然扑朔迷离的现实情景往往给观者以一种雾里看花的朦胧感，但是，只要我们能以敏锐的目光，透过这纷繁复杂的表面现象去观察并很好地把握模型的实质，问题往往就能迎刃而解。 下面，让我们通过对《新型导弹》一题的分析，具体看一看我们拨开迷雾、挖掘问题本质的思维历程。我们首先不能被所谓的“屏蔽半径”和“攻击半径”、“居民点”和“碉堡”这些表象所迷惑。我们应该注意到以下事实： ①可以将居民点的分值修改为它的相反数，则爆炸总利益＝所有居民点的分值和＋所有碉堡的分值和；于是我们就能将居民点和碉堡统一起来看待。 ②一旦确定了“屏蔽半径”和“攻击半径”后，某一个建筑物是否被炸毁只与它与圆心（爆炸点）之间的距离有关，而与其在平面内（战场上）的具体位置无关。因此，我们在读入数据的时候，就可以只储存各点与圆心之间的距离，而摒弃具体的x,y坐标。 ③可以将这些点按照离圆心由近到远的顺序排序，同时将与圆心等距的点合并成一个代表点，其分值为这些点的总分值。 如图： ５ ６ －２０ ６ ３ 于是，我们的任务就变成了求上图所示的一维表的最大子序列问题，即模型的实质。（附程序《新型导弹》missile.pas） 总之，我们在拿到题目时，不能急于动手编程，而首先应该冷静地去思考分析问题，并从与之关联的各种信息中，正确地“过滤”掉迷惑人的无用的部分，“提炼”出关键的部分，从而很好地把握这“新面孔”背后隐藏的“老模型”。俗话说，磨刀不误砍柴功。只有经过了周密深入的思考，我们才有可能透过现象洞察到问题的本质。而此时再着手编程，就能胸有成竹，事半功倍。 （二）多维化 模型的多维化是信息学竞赛中数学建模灵活性的另一个体现。多维化大致可分为“实”的和“虚”的两类。 １、“实”的多维化 (1)　含义 所谓“实”的多维化，顾名思义，就是指实实在在的，“看得见，摸得着”的多维化。这是它的内涵。而它的外延就是模型由线向面扩展，由面向空间扩展。 我们来看如下两个模型，从中来领略一下“由线向面向空间”的具体含义： 　　模型1∶已知平面内的若干个点，求覆盖这些点的最小圆。 　　模型2∶已知空间内的若干个点，求覆盖这些点的最小球。 　　我们可以看出，模型2是在模型1的基础上进行多维化而得到的产物。 事实上，这类多维化模型已屡次在竞赛题和练习题中出现。上述模型2只