[2012江苏省数学竞赛提优教程第47讲角度与距离题目.docVIP

第7讲 角度与距离 本节内容主要是关于空间中各种角与距离的定义与求法以及向量在相关计算中的应用．向量方法一般用于求角度，如线线所成角，线面所成角，面面所成角，有时也可以用来求点到平面距离和异面直线之间的距离． A类例题 1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与直线BD1的距离是_______ （2001年全国高中数学联赛） 分析：求异面直线的距离有很多种思路，可以从定义出发找出公垂线段，求出其长度，也可以过一条直线作另一条直线的平行线，求出线面距离，即为异面直线的距离，等等． 解：连接B1D1，交A1C1于O，易证A1C1⊥平面BB1D1，过O作BD1的垂线，垂足为H，则OH为直线A1C1与直线BD1的公垂线段．把Rt△BB1D1的平面图画出来， 易得OH＝． A，B，C，D四点不共面，且两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则P与Q间的最小距离为__________． （2001年第12届希望杯） 解 A，B，C，D构成正四面体，求P与Q间的最小距离即求AB与CD间的距离，如图． 取AB，CD的中点E，F，则AF⊥CD，BF⊥CD，∴CD⊥平面ABF．∴EF⊥CD．又EF⊥AB，∴EF为AB，CD间的距离． ∵AE＝BE＝，AF＝1，∴EF＝＝． △ABC的顶点B在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°，若AB＝3，BC＝，AC＝5，则AC与α所成的角为A．60° B．45° C．30° D．15° （2005年高考·吉林、黑龙江、广西卷） 分析：利用三角形表达出AC与α所成的角． 作AD⊥α于D，CE⊥α于E，则AD∥CE，作AF⊥CE于F． 由∠ABD＝30°，∠CBE＝45°，AB＝3，CB＝4，易知AD＝，CE＝4． 由CE⊥DE得AF∥DE．故CF＝4－＝，故sin∠CAF＝． 故AC与α所成的角为 30°． 答案：C 情景再现 已知平面α⊥β，αβ＝l，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 A．arccos B． C．arccos D． （2005年高考·福建） 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为（ ） A． B． C． D． （2005年高考·湖南·文） B类例题 如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA＝900，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点．若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）[来源:学+科+网] （A） （B） （C） （D） （1995年高考·全国） 分析：求异面直线所成的角一般可以通过平移的方法把两条异面直线所成的角构造出来，然后通过解三角形求出角度． 解：设BC＝2，把BD1平移到AD2． 在△AD2F1中，AF1＝，BD2＝， D2F1＝＝， ∴cosα＝＝． 答案：A 四面体S—ABC中，∠ASB=，∠ASC=α，∠BSC=β(0α，β)．以SC为棱的二面角的平面角为θ，求证：θ=π－arccos(cotα·cotβ)．(1962年北京市数学竞赛) 证明：在SC上取一点D，使SD=1，分别在面SBC、SCA内作DE、DF与SC垂直．分别交SB、SA于E、F，连EF，则∠EDF=θ． 则DE=tanβ，SE=secβ，DF=tanα，SF=secα． ∴ EF2=tan2α+tan2β－2tanα·tanβ·cosθ=sec2α+sec2β． ∴ tanα·tanβ·cosθ=－1．?cosθ=－cotα·cotβ． ∴ θ=π－arc cos(cotα·cotβ)． 过正四面体的高作一个平面与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面所成角分别为α、β、γ，证明：tan2α+tan2β+tan2γ=12．(1960年波兰数学竞赛) 证明：设正四面体的边长=1，高为AH，过AH的平面交正四面体的三个侧面于AM、AN、AP(如图)．则∠AMH、∠ANH、∠APH即为AM、AN、AP与底面所成的角，∠AMH=α，∠ANH=β，∠APH=γ． ∴ AH2=． ∴ tan2α+tan2β+tan2γ=++=(++)． 为求++，可利用解析几何： 以BD中点O为原点，OB为x轴正方向建立直角坐标系，则点H(0，)．直线HM的方程为： (?为参数) CD方程为y=(x+)， 以HM的参数方程代入得， +tsinθ=(tsinθ+)， ∴