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重庆三峡学院高等代数论文 线性变换的特征值与特征向量 系 （部）：数学与计算机科学学院 专 业：数学与应用数学 学 号：200906034210 学生姓名：吴 文 志 指导教师：刘学飞（教授） 2011年1月 线性变换的特征值与特征向量 吴文志 （重庆三峡学院数学与计算机科学学院数学与应用数学09级2班） 摘要 ： 本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值特征向量的几种求法。 关键词：矩阵；线性变换；特征值；特征向量 1 引言 在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式。为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，他们对于现行变幻的研究 具有基本的重要性。 2 特征值与特征向量的定义及性质 定义1 （ⅰ）设A是数域p上的n阶矩阵，则多项式|λE-A|称A的特征多项式，则它在 c上的根称为A的特征值 （ⅱ）若是A 的特征值，则齐次线性方程组 (E-A) =的非零解，称为A 的属于特征值的特征向量. 定义2 设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数存在一个非零向量ξ，使得αξ=ξ，那么成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值的一个特征向量. 性质1 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则，则为的特征值. 证明： 设为A的特征值，则= ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A的属于λ的特征向量为ξ, 则,λξ=ξ 即有ξ=ξ ∴为的特征值， 由于A最多只有n个特征值 ∴为ξ的特征值 性质2 若λ为A的特征值，则为的特征值, 证明：设ξ为A的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ 有： 而ξ≠0 ∴ 是的特征值. 性质3 n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一定是A的特征值 证明：设 A= 则由题设条件知： ==a ∴a是A的特征值 推论 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则 为的特征值(为A 的伴随矩阵) 证明：= 而 的特征值为.再由性质2知是的特征值 性质4 一个矩阵与其转置矩阵具有相同的特征值. 证明： 与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值 性质5 如果λ是正交矩阵A的特征值，那么也是A的特征值 证明：设λ是A的特征值，那么存在非零向量ξ使得 Aξ=λξ 用作用之后得ξ=λξ 又 A的特征值一定不为零 ，所以λ 0 是的特征值， 又 A是正交矩阵= 为的特征值 又 A与相似，与A有相同的特征根 也是 A特征根 性质6 设是A对应于特征值的特征向量， 是的对应与的特征向量 证明：A= 则= (1) 并有= (2) 给(1)右乘以,(2)左乘以相减得: 0=- ， 则=0 性质7 设A、B均为n阶矩阵，则AB 与BA的特征向量相同 证明：若λ。是AB的特征值，x是相应的特征向量 若 BX≠ 0 , 则BABX=λ。BX 若 BX=0 , B不是可逆矩阵(否则x=0) ∴ BA也不是可逆矩阵 故必有特征值0 , 同样AB 也有特征值0 由此AB 与 BA 有相同的特征值 3 特征值与特征向量的求法 一）矩阵特征值与特征向量的求法 传统计算法 （ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式 （ⅱ）求出的全部根 （ⅲ）把特征值 逐个代入齐次线性方程组 并求它的基础解系，即为A的属于特征根的线性无关的特征向量 下面介绍一种利用矩阵初等变换在求得矩阵根的同时，同步求得特征值所属的全部 的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中 定理1设 且列初等变换→ 其中为下三角矩阵，则的主对角线上的全部元素的乘积的λ 多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根，且对于矩阵A 的每一特征根 ，若矩阵中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵 中和 中零向令所对应的