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第 7 节 克拉默法则 主要内容(2学时) 一、克拉默法则（重点） 二、齐次线性方程组的解（重点） 系数行列式D，其它行列式定义如下： 设线性方程组 则称此方程组为非 非齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 基本概念 如果 n 元线性方程组 系数行列式D不等于零，即 一、克拉默法则（重点） 其中 是将系数行列式 中第 列的元 素用方程组右端常数项替代后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组（1） 有且仅有唯一解，解可以表为 证法1见P53，矩阵后介绍。 证2： 再把 个方程依次相加，得 由代数余子式的性质可知, 于是 当 时, 方程组（1）有唯一解 克拉默法则适用条件： (1) 方程个数等于未知数个数； (2)系数行列式 推论1(定理4’) 如果线性方程组（1）无解或有两个不 同的解，则它的系数行列式必为0，即D ==0. 克拉默法则的推论 解: 解: 系数行列式是一个范德蒙德行列式 因此，方程组的解为： 推论2(定理5) 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 ，则齐次线性方程组（2）只有零解。 二、齐次线性方程组的解（重点） 零解： 非零解： 证： 推论3(定理5’) 如果齐次线性方程组（2）有非零 解，则它的系数行列式必为零，即 . （推论2-3非常重要，牢记） 解: 解: 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 课堂练习： 解：方程组的系数行列式 ∴ 方程组有唯一解（1，2，3，－1）. 从而k=0，或者 k=2. 本节重点总结 一、利用克拉默法则求解线性方程组； 二、齐次线性方程组有0解、非0解的条件。 证2： 解: 所以有唯一解.
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