北航有限元分析与应用第一讲幻灯片.pptVIP

有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application 第一章 绪论 1-1 工程和科学中典型问题 1-1工程和科学中典型问题 1-2 场问题的一般描述---微分方程+边界条件 1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导 3) 电磁场----电磁学 4) 流速场----流体力学 A、B----微分算子（如对坐标或时间的微分） u----未知场函数，可为标量场（如温度），也可为矢量场（如位移、应变、应力等） 基本方程： 边界条件： 数值计算方法分类 1-3 有限元法基本思想 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。 1-3 有限元法基本思想 实例1(离散系统)结构离散 实例1（单元分析） 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为： 实例1（单元分析） 同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为 和实际位移为 ，则据各个节点节点力平衡得： 单元1节点力平衡方程 实例1（整体分析） 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平衡，即 实例1（引入约束求解） 整体矩阵记为： 将 代入可得整体方程 实例2 （连续问题） 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E 实例2 材料力学方法求解直杆拉伸： 图(b)---位移法 考虑微段dx，内力 N=q (L-x) dx的伸长为 x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 应力 实例2 （结构离散） 有限单元法求解直杆拉伸： 实例2 （单元分析） 有限单元法求解直杆拉伸： 实例2 （单元分析） 有限单元法求解直杆拉伸： 实例2 （整体分析与求解） 有限单元法求解直杆拉伸： 1-4 有限元法的基本步骤 所研究问题的数学建模 物体离散 单元分析 整体分析与求解 结果分析及后处理 1-5 有限单元法的形成与发展 1-5 有限单元法的形成与发展 1-5 有限单元法的形成与发展 1-6 有限元法的几个热点问题 新型单元的研究 1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究 面向物理问题的有限元建模 如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法等 有限元法计算速度的研究 如并行计算等 结构优化 1-7 有限元法的基本概念 结构离散（有限元建模） 内容：1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷 要求：1）离散结构必须与原始结构保形----单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理特性 单元与节点 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域 节点：单元与单元间的连接点。 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力 节点载荷：作用于节点上的外载。 注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别； 2）节点力与节点载荷的差别 非法结构离散 典型单元类型 插值函数（或位移函数） 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解 1-8 位移函数的构造方法 广义坐标法 一维单