[7.21培优专题15三角形总复习含答案.docVIP

三角形总复习 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 求证： 证明： ∵∠BAC＝90∴∠C+∠ABC＝90∵AD⊥BC∴∠BAD+∠ABC＝90∴∠BAD＝∠C∵∠BED＝∠BAD+∠ABE∴∠BED＝∠C+∠ABE∴∠BED＞∠C 2. 例2. 已知：如图2，在中，，AM是BC边的中线。 求证： 证明：延长AM到D，使MD＝AM，连接BD 在和中， 在中，，而 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。 3. 角平分线定理的应用 例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 求证：AM平分DAB。 证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD ∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC＝MB，∴MG＝MB 而MG⊥AD，MB⊥AB ∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM平分∠ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用 （2）“全等三角形”在综合题中的应用 例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。 分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。 解：∵AC平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE ∴CF＝CE ∴BE＝DF 设，则 在中， 在中， 答：AC的长为17。 5、中考点拨 例1. 如图，在中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ） 分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。 解：∵BF是∠B的平分线 ∴∠DBF＝∠CBF 又DE∥BC ∴∠DFB＝∠CBF ∴∠BDF＝∠DFB ∴DF＝BD 同理，FE＝CE ∴DF＋FE＝BD＋CE＝9 即DE＝9 6、题型展示 例1. 已知：如图6，中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，。求证：BD平分∠ABC 分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长AE交BC的延长线于F 易证（ASA或AAS） 于是又不难证得 ∴BD平分∠BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。 例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？ 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正内一点，P为正外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。 解：连CD 【实战模拟】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。 2. 在锐