[§8.2椭圆的简单几何性质例题一五136.docVIP

(一) 例１　若椭圆的准线方程为，求实数m的取值集合，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小． 解：方程表示椭圆，则m＞０． 椭圆的准线方程为，则椭圆的焦点在x轴上，于是有５＞m， 从而a２＝５，b２＝m， ∴，解得m＝３． 所以m的取值集合为{3}，并且椭圆方程为 ，焦点坐标为（±，0），离心率为． 例２　如果椭圆的两个焦点把椭圆的对称轴上夹在两条准线之间的线段三等分，那么此椭圆的离心率等于＿＿＿＿．解：社椭圆的方程为．由于，两准线l１、l２之间的距离为２，依题设条件：有．所以．从而椭圆的离心率．例３　已知Ｆ是椭圆在x轴上方的焦点，Ｑ是此椭圆上任意一点，点Ｐ分所成的比为２，求动点Ｐ的轨迹方程． 解：把已知椭圆变形为． ∵a2=25,b2=16． 从而焦点Ｆ的坐标为（０，３）． 设Ｐ点的坐标为(x,y)，Ｑ点的坐标为（x１，y１）， 则　　　　　　① 由Ｐ分所成比为２，得： ∴． 代入①得：． 例２　已知焦点Ｆ（０，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标是，求椭圆标准方程． 解：由焦点Ｆ（０，）知椭圆焦点在y轴上，且（）２＝５０，故设椭圆方程为： 将－１代入整理得： 由韦达定理：． ∴ ∴ 解得t=75． ∴所求椭圆方程为． 例３　　已知椭圆，过右焦点Ｆ２的直线l交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若，求l方程． 分析：直线与椭圆相交问题，交点设而不求，应用韦达定理表示弦长，并注意分类讨论思想的应用． 解：∵c=5－4=1,F2(1,0)．k不存在时，l：x＝１代入椭圆方程，．∴k存在． 故设l：y=k（x－１），代入椭圆方程整理得： ． 设Ａ（x1,y1）,B(x2,y2) 由韦达定理：． 又∵． ∴ ∴k2=1,k=±1． 所以或． (二) ［例1］求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标. 选题意图：用简单例题巩固椭圆的几何性质. 解：把已知方程化成标准方程： 这里a=5,b=1,所以. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是、，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0). ［例2］已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长6，且ｃｏｓＯＦＡ＝，求椭圆的方程. 选题意图：考查a、b、c的几何意义等基础知识. 解：∵椭圆的长轴长是6，ｃｏｓＯＦＡ＝ ∴点A不是长轴的端点 ∴｜ＯＦ｜＝ｃ，｜ＡＦ｜＝ａ＝３ ∴∴ｃ＝２，ｂ２＝３２－２２＝５ ∴椭圆的方程是或. 说明：当焦点所在坐标轴不知道时，椭圆方程有两种情况. ［例3］已知椭圆的长轴长是短轴的2倍，且椭圆过(-2，-4)点，求椭圆的标准方程. 解：∵2a=2×2b,∴a=2b, 当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为 ∵点(-2，-4)在椭圆上， ∴ ∴椭圆的标准方程为. 当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为 ∵点(-2，-4)在椭圆上， ∴ ∴椭圆的标准方程为 (三) ［例1］已知椭圆(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0，其中e是椭圆的离心率. 选题意图：考查椭圆第二定义的基本应用；考查转化基本思想方法，把两点距离计算问题转化为点到特殊直线距离计算问题. 证明：椭圆 (a＞b＞0)的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0),相应的准线方程分别是. ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这椭圆的离心率. ∴. 化简得：. 说明：｜PF1｜、｜PF2｜都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径. 称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点. ［例2］求两对称轴都与坐标轴重合，离心率e=0.8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程. 选题意图：本题考查椭圆的离心率，焦点坐标、准线方程等基础知识. 解：设所求椭圆的方程为 (a＞b＞0)或 (a＞b＞0). 由题意，得： 解这个方程组，得： ∴所求椭圆的方程为：. ［例3］在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 选题意图：训练到焦点距离与到准线距离之间的关系等基本知识. 解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点. ∵椭圆的准线方程为, ∴ 把代入方程 得. 因此，P点的坐标为(). 说明：此题也可利用焦半径公式来求. (四) ［例1］已知椭圆(a＞0，b＞0,φ为参数)上的点P(x,y)，求： (1)x、y的取值范围； (2)3x+4y的取值范围. 选题意图：熟悉参数方程中各量的几何意义. 解：(1)∵-1≤cosφ≤1,-1≤sinφ≤1, ∴-a≤acosφ≤a,-b≤bsinφ≤b. ∴-a≤x≤a,-b≤y≤b为