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中考数学重难点专题讲座 智康·刘豪 第二讲 图形位置关系 【前言】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。综合整个2010一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。一模尚且如此,中考也不会差的太远。至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。 第一部分 真题精讲 【例1】(2010，丰台，一模) 已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径． …近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】 （1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点， O为AB中点， ∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点， ∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=， ∴EC=. 由勾股定理得：DC=. 在Rt△DCB 中， BD=．由勾股定理得： BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点. 求证：为的切线； 若，，求的半径. 【解析】证明：连接. ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ ∥. ∵ , ∴ .∴ . ∵ 是⊙O半径， ∴ 为⊙O的切线. ∵ ,，， ∴ . 由勾股定理，得. ∴ . ∵ 是⊙O直径， ∴ .∴ . 又∵ , , ∴ . 在Rt△中，==5. ∴ 的半径为. 是⊙的直径延长线上一点，点 在⊙上，且 （1）求证：是⊙的切线； （2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，， 求⊙的半径长. 【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。 【解析】 （1）证明：连接. ∵， ∴. ∴是等边三角形. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点在⊙上， ∴是⊙的切线 . （2）解：∵是⊙的直径， ∴. 在中， , ∴设则， ∴ . ∴ . （设元的思想很重要） ∵, ∴ ∽ . ∴ . ∵, ∴ . ∴.………………………………………5分