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5三、解答题 1. 设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P(?)，，试利用契比谢夫不等式估计的下界。 解：因为X～P(?)， 由契比谢夫不等式可得 2. 设E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，? XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X + Y | ? 3}的上界。 解：由题知 ==0 Cov=== -1.5 所以 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率． 解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， 则X1 ，X2 ，... ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， ， 由独立同分布的中心极限定理可知：近似服从N ( 1600 , 1.610000)，所以 = =1- 0.7881= 0.2119 4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）． 解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ， 则X ~ B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240， 根据题意应确定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 则P{X ≤n } 所以，取n=643。 即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。 5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84 X 95}． 解：依题意, X ~ B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率． 解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100. 则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以 即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013. 7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？ 解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X ~ B(n，0.8), 0.997=P{X?10000}= ， 解得 n=12655 即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。 8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率． 解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，…300， 则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以 9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？ 解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产， 记X为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a2 ，所以 10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率． 解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X ~ B (10000,0.017)。 保险公司在一年内的保险亏本的概率为 所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01 四、应用题 1. 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760元内的概率． 解：设每位顾客的消费额为Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，则 ， 由独立同分布