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§ Z变换 ? Z变换的定义及收敛域 【习题】 1. 假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。 【分析】 解：对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 X(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4 ∴ X(Z)的收敛域为： (1) 1/2 | Z | 3/4，为双边序列，见图一 (2) | Z | 1/2，为左边序列，见图二 (3) | Z | 3/4，为右边序列，见图三 图一 图二 图三 ? Z反变换 【习题】 2. 有一右边序列 ，其 变换为 将上式作部分分式展开(用 表示)，由展开式求 。 将上式表示成 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 【注意】不管哪种表示法最后求出 x(n) 应该是相同的。 解：(a) 因为 且x(n)是右边序列 所以 (b) ? Z变换的基本性质和定理 【习题】 3. 对因果序列，初值定理是，如果序列为 时，问相应的定理是什么？，其z变换为： 【分析】 这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，〖它们各自由求表达式是不同的〗，将它们各自的相加即得所求。 若序列的Z变换为： 由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为： 4. 有一信号，它与另两个信号和的关系是： 其中 ， 已知 ，， 【分析】 解：根据题目所给条件可得： 而 所以 ? Z变换与傅里叶变换的关系 【习题】 5. 求以下序列的频谱。 (1) (2) (3) (4) 【分析】 可以先求序列的Z变换再求频率 即为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的 傅里叶变换 解： 对题中所给的先进行z变换 再求频谱得：  ∴ 6. 若是因果稳定序列，求证： 【分析】 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。 证明:  ∴ ? 序列的傅里叶变换 【习题】 7. 求的傅里叶变换。 【分析】 这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。 解：根据傅里叶变换的概念可得： ? 傅里叶变换的一些对称性质 【习题】 8. 设是如下图所示的信号的傅里叶变换， 不必求出，试完成下列计算： (a) (b) (c) (d) 【分析】 利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式 解： 由帕塞瓦尔公式可得： ∵ ∴ 即 由帕塞瓦尔公式可得： 9. 已知有傅里叶变换，用表示下列信号的傅里叶变换。 (a) (b) (c) 【分析】 利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。 解： (c) 则  而 所以 ? 离散系统的系统函数，系统的频率响应 【习题】 10. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 (a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b)求此系统的单位抽样响应； (c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。 【分析】 则 ， 要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）。 解：（a）对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得： 所以 零点为z=0， 极点为， 因为是因果系统，所以|z|1.62是其收敛区域。 零极点图如下图所示。  由于的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。 （c）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选的收敛区域为 ， 即，则 中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 第一章 离散时间信号系统与Z变换 14