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习题集解答 1．证明：适当选取射影从标，使已知的椭圆型对合的代数表达式为xx′+a2=0，而另一对合的表达式为a1xx′+b1（x+x′）+c1=0。欲使它们有公共对应点对，由xx′：x+x′：1=–b1 a2：a2a1：b1构造方程b1Y 2–(a2a1–c1)Y–b1 a2=0。因为，即所构造的方程至少有一个根。若只有一个根，则Δ=0，这时有，从而两个对合重合，故每一对对应点都是公共对应点；若Δ≠0，则方程有两个解Y、Y′，则Y与Y′是一对公共对应点对。 2．证明：设两个对合分别为，根据第1题知有一对公共对应点对Y、Y′，，则，即必有二重点。同理，也有二重点。 3．证明：设QB与SA交于X，PX交l于，在完全四点形PQXS中，由笛沙格对合定理知属于同一对合，故与C重合，即AS、BQ、CP共点。 4．证明：设透视中心为O，AB×A′B′=X，BC×B′C′=Y，CA×C′A′=Z，则X、Y、Z共线，记此进线为l，l分别交AA′、BB′、CC′于L、M、N，则（AA′，OL）=（BB′，OM）=（CC′，ON）=–1。连AC′与A′C交于P，考察四点形ZCPC′，由完全四点形的调和性知ZP交AA′于A、A′、O的第四调点即L，故X、Y、P共线，根据巴斯加定理的逆定理知ABCA′B′C′是某一个二次曲线的内接六点形，即三角形ABC，A′B′C′同时内接于一条二次曲线。 5．证明：设AB交DE于X，BC交EF于Y，C磁针FA于Z，根据巴斯加定理知X、Y、Z共线。再根据二次曲线的内接四点形的对边三点形是自极三点形的性质知，的极点分别为X、Y、Z，因X、Y、Z共线，故由配极原则知共点，即三角形是透视的。 6．证明：设无穷远点为E，再任取一点F作为基点，建立坐标系X=F+xE，则抛物型射影变换的表达式化为x′=x+k,（其中k为常数）。易知（PR，P′E）=–1，故P′是线段PR的中点。 7．证明：适当选择中心投影将直线l变为无穷远直线，这是l 与四点形六边的交点都变为无穷远点，另外六点全变为六边上的中点。因为就四边形言，对边中点连线及对角线中点连线三点共线，且中心投影保持结合性不变，故原四点形中位于对边上的两点的连线共点。 8．证明：由布利安桑定理可知，二次曲线的外切四线形的对顶连线及对边切点连线共点，则平行四边形及配极原则可知对顶连线的交点是中心，从而以协定切点连线是直径，故切点构成的四边形也是平等四边形。 9．证明：则R（C，B，P，S） l（M，N，P，E）知R（CB，PS）=（MN，PE），另一方面，根据完全四点形的调和性知R（CB，PS）= –1，所以（MN，PE）= –1。 10．证明：设SR交AB于M′，则 （A，M′，B，D） S（A，R，B，Q） P（A，R，B，Q）（A，C，B，M）， 知（A M′，BD）=（AC，BM），即，利用CA=BD得，故M′与M重合，即S、R、M共线。 11．证明：设透视变换的一对对应点X，X′满足（OS，XX′）= –1，任取一对对应点Z，Z′，ZZ′交l于M，则XZ与X′Z′是对应直线，从而l，XZ，X′Z′共点，从而有（O，S，X，X′）（O，M，Z，Z′），故（OM，ZZ′）=（OS，XX′）= –1，所以此透视变换是调和透视。 12．证明：设A、A′；B、B′是对合的两对对应点，则对合由A、A′；A′、A；B、B′；B′、B唯一决定；设AB交A′B′于X，AB′与A′B交于Y，A′A交B′B于O，以O为中心，以l为轴唯一确定一个调和透视，由完全四点形的调和性知A、A′与B、B′是此调和透视的两对对应点，从而对合等于此调和透视，即对合是调和透视。 13．证明：设AB交CD于S，AC交BD于R，则三角形PRS是自极三点形，即P的极线为RS，从而（R（PS，CB）= –1，由R（P，S，C，B）l（P，E，M，N），故（MN，PE）= –1。 14．证明：利用配极原则可知P的极线通过E，由13题即知（MN，PE）= –1。 15．证明：设P的极线交m于E，由由13题即知（MN，PE）= –1。因m的方向与直径共轭，由配极原则知P的极线过m上的无穷远点，即E是无穷远点，故MP=PN。 16．证明：设AB×BD=S，由完全四点形的调和性可知R，S，Q共线，且S（BC，QP）=–1，再由S（B，C，Q，P）（N，M，Q，P），知（NM，QP）= –1。 17．证明：设CD×EF=S，则BS是A的极线，再设BS×CE=X，EF×AB=Y，则（AX，CE）= –1，由（A，X，C，E）（A，B，M，Y），知（AB，MY）=（AX，CE）=–1，因M是中点，故Y是无穷远点。