[二项式定理习题精选精讲.docVIP

基本内容 一、二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 的展开式 1.项数规律：展开式共有n+1个项 2.二项式系数规律： 3.指数规律： （1）各项的次数和均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n. 特别地: 1、把b用-b代替 2、令a=1，b=x 3、令a=1，b=1 （公式为n个（a+b） 1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、….+= 即 1+3+6+….+ =即 1+4+10+…+= …………………. 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 可看成是以r为自变量的函数 f(r) ,其定义域是： 图像：孤立的点 1.对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。 2.增减性与最大值 当 K 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 当n是偶数时，中间的一项第项， 取得最大时 当n是奇数时，中间的两项第 项和第项， 、 相等，且同时取得最大值。 （当为奇数时，的展开式的中间项是和； 当为偶数时，的展开式的中间项是。） 3.各二项式系数和 常见题型及解法 一、求二项展开式 1．“”型的展开式 例1．求的展开式； 解：原式== = = = （直接展开也可以，但稍显麻烦） 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “”型的展开式 例2．求的展开式； 分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算； 解：原式= 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知的展开式中的系数为，常数的值为 解： 令，即 依题意，得 ，解得 2．确定二项展开式的常数项、有理项（常数项即项. 有理项即整数次幂项） 1、求常数项 例5．展开式中的常数项是 解： 令，即。 所以常数项是 求有理项 例10．求的展开式中有理项共有 项； 解： 当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。 3．求单一二项式指定幂的系数 例6．（03全国）展开式中的系数是 ； 解：== 令则，从而可以得到的系数为： ，填 练习：试判断在 （ 共17项） 三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数 例7．的展开式中，的系数等于 解：的系数是四个二项展开式中4个含的，则有 例8．（02全国）的展开式中，项的系数是 ； 解：在展开式中，的来源有： 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为 的系数应为：填。 练习、:求 数 四、利用二项式定理的性质解题 求中间项 例9．求（的展开式的中间项； 解：展开式的中间项为 即：。 求系数最大或最小项 注意区别二项式系数与项的系数的概念： 二项式系数为 ； 项的系数为：二项式系数与数字系数的积 特殊的系数最大或最小问题 例11．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解： 要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为 一般的系数最大或最小问题 例12．求展开式中系数最大的项； 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 又，那么有 即 解得， 系数最大的项为第3项和第4项。 系数绝对值最大的项 例13．在（的展开式中，系数绝对值最大项是