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二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 前三项的 得系数为：， 由已知：， ∴ 通项公式为 为有理项，故是4的倍数， ∴ 依次得到有理项为． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页 系数和为． 典型例题四 例4 （1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用 中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为： ． （2） ． 由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为． 说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决． 典型例题五 例5 求展开式中的系数． 分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开． 解：方法一： 其中含的项为． 含项的系数为6． 方法二： 其中含的项为． ∴项的系数为6． 方法3：本题还可通过把看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到． 3个因式中取x，一个取，两个取1得到． 1个因式中取x，两个取，三个取1得到． 合并同类项为，项的系数为6． 典型例题六 例6 求证：（1）； （2）． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质． 解：（1） ∴左边 右边． （2） ． ∴左边 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与的展开式接近，但要注意： 从而可以得到：． 典型例题七 例7 利用二项式定理证明：是64的倍数． 分析：64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来． 解：∵ 是64的倍数． 说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数． 典型例题八 例8　展开． 分析1：用二项式定理展开式． 解法1： 　 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 解法2： ． 说明：记准、记熟二项式的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 典型例题九 例9　若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（　　）． A．11　　　B．33　　　C．55　　　D．66 分析：看作二项式展开． 解：我们把看成，按二项式展开，共有“项”，即 ． 这时，由于“和”中各项的指数各不相同，因此再将各个二项式展开， 不同的乘积（）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积（）． 其中每一个乘积展开后的项数由决定， 而且各项中和的指数都不相同，也不会出现同类项． 故原式展开后的总项数为， ∴应选D． 典型例题十 例10　若的展开式的常数项为，求． 分析：题中，当时，把三项式转化为；当时，同理．然后写出通项，令含的幂指数为零，进而解出． 解：当时，其通项为 ， 令，得， ∴展开式的常数项为； 当时，， 同理可得，展开式的常数项为． 无论哪一种情况，常数项均为． 令，以，逐个代入，得． 典型例题十一 例11　的展开式的第3项小于第4项，则的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解：使有意义，必须； 依题意，有，即． ∴（∵）． 解得． ∴的取值范围是． ∴应填：． 典型例题十二 例12　已知的展开式中有连续三项的系数之比为，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为，求的值． 解：设连续三项是