圆难度较大.doc

22．（2012广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 考点： 切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。 专题： 几何综合题。（21世纪。。。。教育网） 分析： （1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线． （2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4． （3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长． 解答： 解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ∴2∠BCP+2∠BCA=180°， ∴∠BCP+∠BCA=90°， ∴直线CP是⊙O的切线． （2）如右图，作BD⊥AC于点D， ∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2，sin∠BCP=， ∴sin∠BCP=sin∠DBC===， 解得：DC=2， ∴由勾股定理得：BD=4， ∴点B到AC的距离为4． （3）如右图，连接AN， 在Rt△ACN中，AC==5， 又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3． ∵BD∥CP，∴，∴CP=． 在Rt△ACP中，AP==， AC+CP+AP=5++=20， ∴△ACP的周长为20． 点评： 本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大． 25．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=， （1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径； （2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长． 考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。 解答：（1）解：作直径CD，连接BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°，∠A=∠D， ∵BC=4，sin∠A=， ∴sin∠D==， ∴CD=5， 答：三角形ABC外接圆的直径是5． （2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E， ∵AB=BC=4，I为△ABC内心， ∴BF⊥AC，AF=CF， ∵sin∠A==， ∴BF=， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=， AC=2AF=， ∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC， ∴IE=IF=IG， 设IE=IF=IG=R， ∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积， ∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF， 即4×R+4×R+×R=×， ∴R=， 在△AIF中，AF=，IF=，由勾股定理得：AI=． 答：AI的长是． 24. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF，BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 【答案】解：（1）证明：连接OB， ∵OB=OA，CE=CB， ∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。 又∵CD⊥OA， ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。 ∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。 ∴BC是⊙O的切线。 （2）连接OF，AF，BF， ∵DA=DO，CD⊥OA， ∴△OAF是等边三角形。 ∴∠AOF=60°。 ∴∠ABF=∠AOF=30°。 （3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB， ∴EG=BE=5。 易证Rt△ADE∽Rt△CGE， ∴sin∠ECG=sin∠A=， ∴。 ∴。 又∵CD=15，CE=13，∴DE=2， 由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。 ∴⊙O的半径为2AD=。 【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。 （2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。 （3）过点C作