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数学大题参考案例 保山天津高级中学 数学组赵一明、杨孟元等编写 公元二〇一〇年四月十八日定稿 第一大题类型：三角函数、向量、解三角形 一、要点分析： 1、三角函数的定义、图象与性质（定义域、值域或最值、周期性、奇偶性、单调性、对称性、图象画法或变换）；三角函数的常用公式（定义公式、同角三角函数的三种关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式、降幂公式与半角公式、辅助角公式、周期公式及对称轴或对称中心公式）及其联系与转化。 2、三角函数最值可能出现的主要类型及方法：第一，整式型——①通过去括号、降幂公式、辅助角化为“三一式”，②通过平方关系化为二次函数式，③通过“知一求二”换元化为二次函数式（（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx（换元法）、二次函数在闭区间上的最值或值域问题）；第二，分式型——①通过三角公式及分解因式等技巧化为整式型处理，②化为分子或分母是二次函数式的情况，③化为分子或分母或整体式子可用“均值不等式”的情况等等。 3、重要步骤：三角函数式的化归与转化技巧——展开、降幂、辅助角；（展开：诱导公式或两角和差公式；降幂：二倍角的正弦、余弦逆用；辅助角：提“斜边”或公因数，辅助角要选准，计算要细心（偶而只用符号即可））。 4、知识综合：①向量的模、数量积的坐标公式，根据三角函数的值求角（注意查看值是否特殊，是否需要用反三角符号）、三角函数的化简变形及证明（直接处理或整体处理技巧）；②向量垂直或平行的充要条件、向量的夹角（的余弦）公式及相应性质的运用，解斜三角形等；③三角函数的各种公式变形及运用，对三角函数各种性质（定义域、值域或最值、周期性、奇偶性、单调性、对称性、图象画法或变换）的考查问题。 二、知识及方法总结： （一）知识的综合：平面向量、平面几何、函数、数列等。 （二）辅助角公式与三角函数图象及性质： 其中： 转化为标准型（“三一式”）： ①定义域与值域；②最值与单调性；②奇偶性；③周期性与对称性；④图象变换。 （三）解三角形： ①正弦定理：； ②余弦定理： ； ③面积公式：；（面积公式的其它形式？） ④平面几何知识： 直线、角、三角形（解直角三角形）、四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、多边形、正多边形、圆。 （四）定义公式、诱导公式、基本关系式、和差角公式、倍角半角公式： （五）三角函数值的符号、已知三角函数值求角或角的范围（要注意讨论角的范围（角的终边位置））： 1、三角函数值的符号判断口诀：一全正，二正弦；三两切，四余弦；余正割随正余弦。 2、简单的三角方程与三角不等式（一要注意值的特殊与否；二要注意角的范围；三要注意图象与周期的运用；四要注意反三角符号的运用）。 附：三角函数辅助角公式高考基本型 其中： 其中： 三、例题精选： 1、(06全国理Ⅱ）（本小题满分12分）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜． （Ⅰ）若a⊥b，求θ； （Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值． 解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分 由此得tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；……………………4分 （Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得 ｜a＋b｜＝＝＝，………………10分 当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．……12分 2、 (08全国Ⅱ理)（本小题满分10分） 在△ABC中，，. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求△ABC的面积,求BC的长. 解：（Ⅰ）由，得，由，得． 所以． 5分 （Ⅱ）由得， 由（Ⅰ）知，故， 8分 又，故，． 所以．……………………………………………………10分 3、(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(Ⅱ)若x∈，求f(x)的最大值和最小值． 解：()f(x)＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1，(4分) 因此f(x)的最小正周期为π.由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，kZ得＋kπ≤x≤π＋kπ，kZ 故f(x)的单调递减区间为，kZ. (8分) ()当x时，2x＋，，因此，f(x)的最大值为3，最小值为0.(12分)(本小题满分12分) 把函数y＝2sinx的图象向左平移单位，再把得到的图象保持其各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍就得到函数f(x)的图象． (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间． 解：()把函数y＝2sinx的图象