教案《最小二乘法》.doc

8最小二乘法 一、教学分析 最小二乘法的思想是使的和达到最小。 对于最小二乘法本身，任何一组数据，不论它们之间是否存在线性相关关系，都可以用最小二乘法估计出一个线性方程来。所以，通过散点图判断两个变量是否存在线性相关系就显得很重要。 二、教学建议 关于最小二乘法不要求学生掌握推导过程，但要理解其思想。 三、教学目标 1、知识与技能 了解最小法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 2、过程与方法 经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程，体会研究两个变量间依赖关系的一般方法。 3、情感态度价值观 通过利用散点图直观认识变量间的相关关系，培养学生用普遍联系的观点思考和解决生活中的数学现象，进一步培养学生的创新意识与创新能力。 四、教学重点、难点 教学重点：利用最小二乘法求线性回归方程。 教学难点: 线性回归方程的推导。 （一）课题引入 在上一节的讨论我们知道，人的身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就说，它们之间是线性相关的。这种线性关系可以用多种方法来刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好呢？ 一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都接近。 （二）探求新知 假设一条直线的方程为：，任意给定一个样本点：，即有一个估计值与之对应，那么估计值与真实值之间存在误差，为了避免误差相互抵消，可以考虑用来刻画彼此之间的“误差”。 如果有n个样本点，其坐标分别为，则所有误差的和越小，对应的直线方程就越理想。使得上式达到最小值的直线就是所要求的直线，我们把这种方法称为最小二乘法。 记：，则 =，所以当时，上式取得最小值。将这个关系式代入上式，整理成关于未知数b的一元二次多项式的形式： 所以当时，点与直线最接近。这样得到的方程称为线性回归方程，称为线性回归方程的系数。 （三）知识应用 例1、在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表所示： 气温（x）/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64 （1）试用最小二乘法求出线性回归方程。 （2）如果某天气温是-5℃，请预测大约能卖出热茶多少杯。 解：（1）从散点图可以看出，两个变量是线性相关的。可求得，进而求得，。于是，线性回归方程为。 （2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是-5℃时，卖出热茶的倍数估计为。 例2、下面是两个变量的一组数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 4 9 16 25 36 49 64 （1）请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程； （2）观察散点图，你发现线性回归方程能否反映两变量之间的相关关系吗？ 解：线性回归方程为。但是，从表中数据很容易看出：，此时，最小二乘法得到的线性回归方程已经失去了意义。 所以，利用最小二乘法进行估计时，要先作出数据的散点图，如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律性进行拟合。如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合。 （四）课堂练习 1、设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） A．回归直线是经过散点图上最多点的直线 B．若回归方程为，则当时，一定 　等于6 C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 D．直线过点 解析：根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断。选D 2、（2011年广东卷）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系： 1 2 3 4 5 命中率 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________； （2）线性回归方程为； （3）从以上两个方程可以看出，女生的线性回归方程的斜率要比男生的大，这说明从总体上看，相对于身高而言，女生的右手一拃长比男生的要长。从另一个角度开看，对于男生而言，女生的身高总体偏矮，相同年龄的人右手一拃长应当大致差不多，所以相对于身高而言，女生的右手一拃长比男生的要长。 （五）课堂小结 最小二乘法：如果有n个样本点，其坐标分别为，可以用下面的表达式来刻画这些样本点与直线之间的接近程度：，使得上式达到最小值的直线就是所要求的直线，我们把这种方法称为最小二乘法。 线性回归方程：如果，则可求得 ，，这样得到的方程称为线性回归方程，称为线性回归