圆锥曲线--存在性问题.doc

圆锥曲线--存在性问题(星级) 1、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点． （1）求曲线弧的方程； （2）求的最小值（用表示）； （3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆， . ……………………………………………1分 ∴的方程为. ……………………………………………3分 （注：不写区间“”扣1分） www.k@s@5@ 高#考#资#源#网 （2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设， 则有， 即 ……① ………………………………4分 又，，从而直线的方程为 AP：； BP： ……………5分 令得，的纵坐标分别为； . ∴ ……② ………………………………………7分 将①代入②， 得 . ∴ . 当且仅当，即时，取等号．即的最小值是. ……………………………………………9分 解法2：设，则由三点共线，得 ．．① 同理，由三点共线得： …② …………………5分 由①×②得：. 由，代入上式，. 即 . …………………………………………………………7分 ， 当且仅当，即时，取等号． 即的最小值是 . ………………………………………………9分 （3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有 ，…………………………………………………10分 从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知， ； ， ……………………………11分 于是有 ， 而，矛盾.………………………13分 ∴不存在点Ｐ，使为正三角形． ……………………………………………14分 2、已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为. ⑴求椭圆的方程; ⑵设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由. 【答案】解:⑴设椭圆的方程为, 椭圆的离心率,右焦点为, , , , 故椭圆的方程为 ⑵假设椭圆上是存在点(),使得向量与共线, ,, ,即,(1) 又点()在椭圆上, (2) 由⑴、⑵组成方程组解得,或, ,或, 当点的坐标为时,直线的方程为, 当点的坐标为时,直线的方程为, 故直线的方程为或 3、已知动点与两个定点的连线的斜率之积等于常数() (1)求动点的轨迹的方程; (2)试根据的取值情况讨论轨迹的形状; (3)当时,对于平面上的定点,试探究轨迹上是否存在点,使得,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】解、(Ⅰ)由题设可知;的斜率存在且不为0, 所以,即 (Ⅱ)讨论如下: (1)当时,轨迹C为中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当时,轨迹C为中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当时,轨迹C为以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0)) (4)当时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴两个端点) (Ⅲ)、当时,轨迹C的方程为,显然定点E、F为其左右焦点. 假设存在这样的点P,使得,记,, 那么在中: 整理可得:,所以 所以 又因为 所以故代入椭圆的方程可得: 所以,所以满足题意的点P有四个,坐标分别为 ,,, 4、设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由， 可得，，所以，. ① 因为点在单位圆上运动，所以. ② 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为，； 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为，. （Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，， 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ，即. 因为点H在直线QN上，所以. 于是，. 而等价于， 即，又，得，