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哈尔滨师范大学 学　年　论　文 题 目 分块矩阵及其应用 学 生 杨大胜 指导教师 高宏一 年 级 2009级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 哈尔滨师范大学 2011年11月 论　文　提　要 本文通过一些例题对分块矩阵在计算与证明两个方面的应用进行了总结和分析，在证明方面，主要涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵的行或列的线性相关性.在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求可逆矩阵的逆矩阵以及求高阶行列式的问题.通过本文的论述充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有得一定优越性，也给出了分块矩阵在代数学中的重要地位.当然在分块矩阵的应用论述上并不是所有类型的计算与证明都进行了讨论，所以在完整性上还有待改进，还可以继续进行深入的研究探讨。 分块矩阵及其应用 杨大胜 摘 要：分块矩阵有着许多非常重要的应用，解决有关问题时显得简洁明了，学会运用这一手段对我们学习矩阵非常有帮助。 关键词：分块矩阵 行列式 矩阵的秩 一、分块矩阵的一些基本知识 对于矩阵的运算和应用，有很多问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都较大时，矩阵的计算和证明也许就会是一个非常繁琐的过程，因此我们需要运用一个新的工具来处理这些繁琐的问题，矩阵分块的思想也就由此产生了，对级数较高的矩阵的处理是矩阵相关内容当中相当重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或者是特殊矩阵内部本质的结构. 设是一个矩阵。我们在的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干个小块。设是一个4×3矩阵 = 我们可以把它分成四块 ： 这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个 分块矩阵。 每一小块也可以看成一个矩阵。上面的A由以下四个矩阵组成： 也可以把A简单写成 类似集合的划分，一个矩阵的分块是把该矩阵完全的分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到且只落到一个分块子矩阵当中.为识别一些有用的结构，矩阵分块往往是一个方便的方法。 如果组成的一个划分，而组成的一个划分，那么矩阵构成的一个分块。如果和已经分块，且使的两个划分重合，那么就说这两个矩阵分块是共形的。这时， 其中是和的共形分块。等式的左边是乘积AB的一个子矩阵（按普通方式计算），而右边的每一个被加项是一个标准的矩阵乘积。因此共形的分块矩阵的乘积与普通矩阵乘法相仿。当各被加项有相同的分块矩阵时。分块矩阵的加法运算也是有相同意义。 求出非奇异分块矩阵的逆的相应子块，即用相应的分块形式给出分块矩阵的逆矩阵，有时候是很有用的一种方法。可以采用不同的，但彼此等价的方式来求分块矩阵的逆矩阵我们假定的某些子矩阵及也是非奇异的。为了表示起来简单方便，设是如下的分块 其中且，关于的相应分块形式有一个非常有用的表示方法 其中我们假定所有有关的矩阵的逆矩阵存在.或者，用一般的指标集记号，可以记 以及 仍然假定有关矩阵的逆矩阵存在.其实还可以写出其余的表示方法.注意，是的子矩阵，而是的一个子矩阵的逆，并且这两个矩阵一般是不相同的. 定理 1 设是一个四分块n阶矩阵，其中分别为矩阵. 若可逆，则； 若可逆，则 定理 2 设是一个四分块n阶矩阵，其中分别为矩阵. 若可逆，则有逆矩阵的充分必要条件为为可逆矩阵，并且其逆矩阵为： 其中 （2） 若可逆，则有逆矩阵的充分必要条件为为可逆矩阵，并且其逆矩阵为： 其中 定理 3 设是一个矩阵，其中： 分别是矩阵，则的秩为 分块矩阵在线性相关性的知识方面及矩阵的分解中有着很广泛的应用，若果想非常透 彻的掌握运用是比较困难的一件事.它的知识结构比较抽象，解题的技巧性很强，稍有， 不慎就会陷入一种困境，作为线性代数中的重要内容和工具的矩阵，分块矩阵在线性相 关性及矩阵分解证明当中很有作用 定理 4 矩阵的列线性无关的充分必要条件为只有零解. 矩阵的行或列向量相关与无关性的问题很多都要涉及分块矩阵，因为矩阵的行或列都可 以看作是矩阵的子块.在线性代数中还有很多问题都可以类似的通过分块矩阵来解决. 分块矩阵的应用主要在有关的计算与证明当