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　特殊三角形 要点梳理 1．等腰三角形 (1)性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形． 两腰 两底角 要点梳理 2．等边三角形 (1)性质： 相等，三内角都等于 ； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三边 60° 要点梳理 3．直角三角形 在△ABC中，∠C＝90°. (1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝ ； (2)角与角的关系：∠A＋∠B＝ ； 90° c2 要点梳理 ( 3 ) 边与角的关系：若 ∠ A ＝ 30 ° ， 则 a ＝ 1 2 c ， b ＝ 3 2 c ； 若 a ＝ 1 2 c ， 则 ∠ A ＝ 30 ° ； 若 ∠ A ＝ 45 ° ， 则 a ＝ b ＝ 2 2 c ； 若 a ＝ 2 2 c ， 则 ∠ A ＝ 45 ° ； 斜边上的中线 m ＝ 1 2 c ＝ R ( 其中 R 为三角形外接圆的半 径 ) ． 要点梳理 (4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 一个方法 面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论． 两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心． △ADC≌△ADE ∠1=∠2; ∠3=∠4=∠C=90°;∠5=∠6; AE=AC;DE=CD 折叠问题 线段AD所在的直线 (2)图中有哪些相等的角和相等的线段？ (3)对称轴是哪条线段所在的直线？ (1)你能找出图中全等的三角形吗？ 如图，在直角三角形纸片中，使点C落在AB上的点E处． 归纳（填空）： 折叠问题的本质是图形的 变换。 利用轴对称变换得到对应的 相等和对应的 相等 轴对称 角 线段 折叠问题 全等图形 （对应角、对应线段相等） 轴对称 例1：如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上的点E处．已知∠B=30°，∠C=90°，则∠1= ,∠5= . 中考归类一：求角的度数 解：∵△ADE由△ADC折叠而来 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠C=90° ∵∠B=30°, ∠C=90° ∴∠BAC+∠B=90° （为什么？） ∴∠BAC=90°-30°=60° ∴∠1=∠2= (90-30)°÷2=30° ∴∠5=90°- 30 °= 60° 30° 60° 直角三角形两锐角互余 例2：如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上的点E处．已知BC=12，∠B=30°，∠C=90°，则DE的长是（　　）A 6 B 4 C 3 D 2 归类二：求线段的长度 解：∵折叠， ∴AD平分∠BAC， ∠C=∠AED=90°， ∴DE=DC，设 DE=DC=x 又∵∠B=30°， ∠BED=90 ° ∴BD=2DE=2x 设未知数 → 方程思想 B ∵BC=12， ∴3DE=3x=12， ∴x=4即DE=4． 故选B． 直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半。 x x 2x 三个防范 (1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形． (2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然． (3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就