§7.5向量和矩阵的范数解析.ppt

* ? 2009, Henan Polytechnic University * §5 向量和矩阵的范数 第七章 解线性方程组的直接方法 * 第五节 向量和矩阵的范数 范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广。 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度， 高维向量的长度能否定义呢? 7.5.1 向量范数和向量序列的收敛性 定义7.2 . 显然 并且由于 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 　　　 向量序列 收敛于向量 是指对每一个 1 ? i ? n 都有 。 定义7.3 定理7.12:有限维线性空间上的不同范数是等价的，即对定义的任意两种范数 ,必存在两个任意正常数 ，使得 注意:这个结论对无限维未必成立。另外，根据等价性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种范数来进行计算。 定理7.13： 其中范数为向量的任一种范数 定义7.4： (4)式称为相容性. 例. 不难验证其满足定义的4个条件 称为Frobenius范数,简称F-范数 而且可以验证 tr为矩阵的迹（对角元之和） 类似向量的 2-范数 定义7.5： 简称为从属范数或算子范数 显然，由定义不难推出 定义： 算子范数和其对应的向量范数是相容的 根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数: 例. 解: 类似于向量的2-范数 不过 （迹=特征值之和） 例： 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 不是算子范数 使用最广泛 性质较好 较少使用，但与 向量2范数相容， 又较易计算，有 时用来估计 定义7.6 ： 而 因此 显然 即 所以 定理7.18：若矩阵 B 对某个算子范数满足 ||B|| 1，则必有 ① 可逆； ② * * ? 2009, Henan Polytechnic University * §5 向量和矩阵的范数 第七章 解线性方程组的直接方法 * *