群的基本概念教材分析.ppt

群的基本概念 目录 2.1 群的定义 2.2 群的乘法表 重排定理 重排定理 重排定理 2.3 同构与同态 2.4 群的直积：直积群 2.5 群元素的共轭分类 2.5 群元素的共轭分类 2.6 分子点群的共轭分类 根据两个群的群元素的对应关系可以得到 C3v 的群表： 如 例 2-1 中的 C2 群、Ci 群、Cs 群三个群同构。 两个群，如果其群元素数目相同（同阶群），而且乘法关系相同（有相同的乘法表），则称这两个群同构，即有相同的结构。 如 C3v 群与 S3 群同构。此外，还有 Cnv 群与 Dn 群同构，O 群与 Td 群同构。 同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。 如果两个群的群元素之间存在 1 对 m 的关系，则这两个群同态。 如 G2 群与 C3v 群同态，存在着 1 对 3 的关系。从乘法表的区域分布可以看出： 2.4.1 子群 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 如果一个群 G 中一部分元素的集合（子集合）对于群 G 的乘法是封闭的，即： 则称 H 为群 G 的子群。 如果一个群 G 中一部分元素的集合（子集合）对于群 G 的乘法是封闭的，即： 则称 H 为群 G 的子群。 群 G 的阶 g 必是子群 H 的阶 h 的整数倍。 2.4.2 群的直积 这个定义很容易推广到多个直因子的直积的情况。 设有 2 个群 H1 = { am }、H2 = { bn }，如果两个群的任意两个元素是可对易的：aibj = bjai ，则可以定义一个大群 G （直积群）是 H1 与 H2 的直积，表示为： 直积群 G 的元素 gk = aibj （k = 1, 2, … , m×n）。显然， H1 、H2 是 G 的子群，叫做直积群 G 的直因子。 例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。 例 2 C3h 群包含 C3 子群和 CS 子群。 例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。 例 3 D2h 群包含 D2 子群和 Ci 子群。 此外，还有： 例 3 D2h 群包含 D2 子群和 Ci 子群。 后面我们会看到，直积群的性质很容易由它的直因子的性质导出。因此，只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直积。 直积群有如下性质： 2）直积群的一部分直因子的乘积仍是它的直因子。 1）各个直因子的交（即共同的元素）只有单位元素。 其中 X 为群中任意元素，则称 A 与 B 共轭。 如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系： 其中 X 为群中任意元素，则称 A 与 B 共轭。 如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系： 相互共轭的群元素的一个完整集合称为群的类。 群元素的共轭分类比较复杂，但有规律可循： 3）反映：sh 永远自成一类； nsv 的分类相对复杂，有时同属一类，有时则分属两类。 1）恒等操作 E 总是自成一类 2）反演 i 总是自成一类 当 nsv 分属两类时，一类称为 s’v，另一类可称为 s‘’v 或 sd。 4）转动 （1）循环群中的 操作每一个自成一类。 4）转动 （2）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类， （1）循环群中的 操作每一个自成一类。 自成一类。 4）转动 （2）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类， （1）循环群中的 操作每一个自成一类。 自成一类。 （3）非真转动 Sn 的分类情况与 Cn 相似。 4）转动 （2）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类， （1）循环群中的 操作每一个自成一类。 根据乘法表可以对群元素进行共轭分类。以 C3v 群为例说明。 5）如果二个对称操作可以借助另一个对称操作交换位置（或彼此到达），则这二个操作同属一类。如 C3v 群中的 3 个竖直的镜面 sv。 6）同构群的群表相同，共轭分类（当然！）相同。 这是对称群的类的几何意义：相互共轭的对称操