2、点与圆.ppt

www.QYXK.net 中学数学网（群英学科） 必修2——第四章 圆与方程? 复习 * 课前练习 请认真思考，然后回答： 1、圆的方程有哪几种？各自有什么特点？ 2、点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系？如何判断？ 3、如何用坐标法解决平面几何问题？ 4、怎样在平面直角坐标系的基础上建立空间直角坐标系？ 平面直角坐标系与空间直角坐标系中的两点间的距离公式有何异同？ 2.新课讲授 例1、 设直线 与圆 相交于P、Q 两点，O为坐标原点，若 ，求 的值. 解： 圆 过原点，并且 ， ??? 又 在直线 上， ，解得 . ? ∴ PQ是圆的直径，圆心的坐标为 ∴ ? 2.新课讲授 例2、 （1997上海）设圆x +y －4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1）， 则直线AB的方程是? ???. 2 2 解法一：已知圆的方程为（x－2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0）， 又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP= =1，而AB⊥CP， 所以k =－1. 故直线AB的方程是x+y－4=0. AB 解法二：设所求直线方程为y－1=k（x－3）. 代入圆的方程，得关于x的 二次方程：（1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0， 由韦达定理：x1+x2= =6，解得k=－1. 2.新课讲授 例2、 （1997上海）设圆x +y －4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1）， 则直线AB的方程是? ???. 2 2 解法三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、 B（x2，y2），则有 ， 两式相减，得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0. 又AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2. ∴ =－1，即AB的斜率为－1，故所求方程为x+y－4=0. 2.新课讲授 例3、长 为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中 点的轨迹方程. 解：设线段AB的中点坐标为 ，则 点 ， . ，得 .所以，所求轨迹方程为 . 由 点评：此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路，先设动点的坐标，再写出题目所满足的几何条件， 然后由所写条件式列出方程，最后化简即得所求轨迹方程. 2.新课讲授 例3、长 为的线段AB的两端点A和B，分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中 点的轨迹方程. 点评：由已知条件分析得出动点的轨迹，再由轨迹写出方程，这种解法类似于数形结合思想， 关键找出图形的重要特征. . 另解：∵ ，M是AB中点，x轴⊥y轴， ∴ 即线段AB中点M的轨迹是以原点O为圆心 ， 为半径的圆. ∴ 所求轨迹方程为 2.新课讲授 点评：本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想. 解题关键是 抓住图形的几何性质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，达 到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨. 例4、 已知圆C：（x－1）＋（y－2）＝25， 直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 2 2 解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. ∵m∈R，∴ ，得 即l恒过定点A（3，1）. ∵圆心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. ∴l的方程为2x－y－5=0. （2）弦长最小时，l⊥AC，由k ＝－ AC 课堂练习 课本复习参考题A组 2、4、6、8 归纳总结 本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。