k阶子式.ppt

第二章 矩阵 §2.6 矩阵的秩 1.k 阶子式 2.矩阵的秩 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D， 且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零， 那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式， 数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 求矩阵秩的方法 练习1：试求矩阵A、B，使得R(A＋B)=R(A)＋R(B). 即 R(A＋B)=R(A)＋R(B). 即 R(A＋B)R(A)＋R(B). ④ R(A＋B)≤R(A)＋R(B) 练习2：试求矩阵A、B，使得R(A+B)R(A)＋R(B). 例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． ④ R(A＋B)≤R(A)＋R(B) 练习3：试求矩阵A、B，使得R(AB)=min{R(A),R(B)}. 即 R(AB)=min{R(A),R(B)}. 即 R(AB)min{R(A),R(B)}. ⑤ R(AB)≤min{R(A),R(B) } 练习4：试求矩阵A、B，使得R(AB)min{R(A),R(B)}. ⑤ R(AB)≤min{R(A),R(B) } 分析：若 R(A) = n，则 A 的行最简形矩阵应该 有 n 个非零行； 每个非零行的第一个非零元为 1 ； 每个非零元所在的列的其它元素都为零． 于是 A 的行最简形中 又因为 A 是 m×n 矩阵，所以 A 的行最简形矩阵为 ． 前 n 行 后 m - n 行 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 证明：因为 R(A) = n， 所以 A 的行最简形矩阵为 ， 设 m 阶可逆矩阵 P ，满足 ． 于是 因为 R(C) = R(PC)，而 ，故R(B) = R(C) ． * 主讲: 赵春燕副教授 黑龙江科技大学理学院 引例 用初等变换把矩阵A化为行阶梯形、行最简形和标准形. 一、矩阵的秩的概念 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个． 定义：在 m×n 矩阵 A 中，任意选取 k 行 k 列 ( k ≤ min{m，n})， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变 它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式， 称为矩阵 A 的 一个k 阶子式．记作 . 与元素a12相对应的余子式 相应的代数余子式 矩阵 A 的一个 2 阶子块 矩阵 A 的一个 2 阶子式 概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式 1. 规定零矩阵的秩等于零. 一些特殊矩阵的秩 2. 非零行阵，列阵的秩等于1. 4. 标准形 =“1”的个数. 矩阵 A 的一个 3 阶子式 矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零， 那么这个 3 阶子式也等于零 ． 二、矩阵的秩的计算 根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示． 如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 ． 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 ． 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 求秩的方法：矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数． 秩的性质 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ； 若矩阵 A 中所有 t+1 阶子式等于零，则 R(A) ≤ t ． 若 A 为 n 阶方阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| ． 当|A|≠0 时， R(A) = n ;