06天津数学竞赛答案工科.docVIP

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06天津数学竞赛答案工科

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案 填空 若是上的连续函数,则 函数在区间上的最大值为 由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 设函数由方程所确定,则 选择题 1.设函数可导,并且则当时,该函数在点处微分是的( A ) (A)等价无穷小 (B)同阶但不等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低阶无穷小 2.设函数在点处可导,则在点处不可导的充要条件是( C ) (A) (B) (C) (D) 3.曲线 ( B ) (A)没有渐近线 (B)有一条水平渐进线和一条斜渐近线 (C)有一条铅直渐近线 (D)有两条水平渐近线 4.设均为可微函数,且已知是在约束条件=0下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D ) (A)若则 (B)若则 (C)若则 (D)若则 5.设曲面 的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B) (A) (B) (C) (D) 三、设函数具有连续的二阶导数,且求 解:由题设可推知于是有 故 四、设函数由参数方程所确定,求 解:由,得到所以 而当时,由及故 五、设n为自然数,计算积分 解:注意到:对于每个固定的n,总有所以被积函数在点处有界(不是被积函数的奇点)。又 于是有 上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故。所以 六、设是除点外处处连续的奇函数,为其第一类跳跃间断点,证明是连续的偶函数,但在点处不可导。 证明:因为是的第一类跳跃间断点,所以存在,设为A,则又为奇函数,所以。 命: 则在点处连续,从而在上处处连续,且是奇函数; 当,则, 当,则, 即是连续的奇函数,于是是连续的偶函数,且在点处可导。又 即= 所以是连续的偶函数,但在点处不可导。 七 、设有一阶连续偏导数, 证明: 解:设: 则 类似可得 代入原式左边,得到 八、设函数连续,在点处可导,且,求: . 解:记,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数的对称性,有 于是有 九、计算其中L为=1正向一周。 解:因为L为=1,故 其中D为L所围区域,故为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。 当 当 当 当 故D的面积为从而 十、(1)证明:当充分小时,不等式成立 (2)设求 证明:(1)因为 ,又注意到当充分小时,所以成立不等式 (2)由(1)知,当n充分大时有,故 而 于是,由夹逼定理知 = 十一、设常数证明:当 证明:设函数 故要证,只需证:当时, 当时, 显然: 命: 当时,=0,为唯一驻点,又所以为的唯一极小值点,故为的最小值,即当时,从而严格单调递增。 又因,所以当时,;当 十二、设匀质半球壳的半径为R,密度为,在球壳的对称轴上,有一条长为的均匀细棒,其密度为。若棒的近壳一端与球心的距离为,,求此半球壳对棒的引力。 解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z轴上,则由于对称性,所求引力在轴与轴上的投影均为零。 设为引力常数,则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为: 记。在球坐标下计算,得到 若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z轴上,则 。 第 3 页 共 5 页

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