微积分 函数之单侧极限与无穷大[精选].ppt

* §4. 单侧极限与无穷大 1. 单侧极限概念及其定义 当自变量趋于有限数时，函数极限 的数量化刻画是 “ ?? ? 语言 ” ： 这时可以理解为：只考虑点 x0 的 左邻域 内，自变量 从左边趋于 有限数 x0 时， 函数值 f ( x ) 有向常数 A 无限趋近的变化趋势。 这种情况下，称函数 f ( x ) 在点 x0 的 左极限 存在，记为： 只考虑点 x0 的 右邻域 内，自变量 从右边趋于 有限数 x0 时，函 数值 f ( x ) 有 向常数 A 无限趋近的变化趋势。 这种情况下，称函数 f ( x ) 在点 x0 的右极限 存在，记为： 函数 f ( x ) 在点 x0 的 左极限 与 右极限 统称为函数 f ( x ) 在 点 x0 处的 单侧极限 。原规定的函数 f ( x ) 在点 x0 的 极限 也 就常被称为 双侧极限。 利用单侧极限定义 验证极限问题 定理：函数 f ( x ) 在点 x0 点处有（双侧） 极限 的充分必要条件是： 它在点 x0 处的 左极限 与 右极限 均 存在 并且 相等 。 说明 (1)函数极限的 四则运算法则 对函数的 单侧极限 也是成立的。 单侧极限 与 双侧极限 的相互关系显然有以下的定理： （2）“简单函数 ” 的 单侧极限 已知结果仍然是： （3）求 “整式函数 ” 和 “某些 有理分式函数 ” 的 单侧极限 时， 代入法 仍然成立；求 “另一些 有理分式函数 ” 的 单侧极限 时，消去零因式法 仍然成立 ；求 “某些 无理分式函数 ” 的 单侧极限 时，共轭因式法 也仍然成立 。 2. 单侧极限的应用实例 函数 f ( x ) 的 单侧极限 概念在研究 分段函数 的极 限时有 不可或缺 的应用。 题型 I：研究 分段函数 在 分段点 上的函数极限问题 . 题型 II：已知 分段函数 在 分段点 上极限存在，求函数表示式中的 待定常数问题 . 3. 无穷大的概念及其定义 现在考虑当 x ? 0 时 ，函数 y = 1 /x 的极限。 从图中可以看出，当 x ? 0 时 ， 函数 y = 1 /x 的取值没有向某个 常数无限趋于的极限趋势。根据 前面的函数极限概念，当 x ? 0 时 ，函数 y = 1 /x 的极限不存 在 。但是，我们可以说，当 x ? 0 时 ，函数 y = 1 /x 的取值有一 个 无限远离原点 的趋势 ！ 为了 对这种也有某种趋势的情况进行 研究，我们称 这种极限不存在的 特殊情况 为：当 x ? 0 时 ，函 数 y = 1 /x 是无穷大。 “无限远离原点 ” 的含义，从数量化角度看，可以理解为：无论给 定多大的正数 E , 函数值 f ( x ) 与原点的距离 | f ( x ) | 要比 这个 正数 E 大： | f ( x ) | E 。 当 x ? 0 时 ，函数 y = f ( x ) = 1 /x 的取值有一个 无限远离原点 的趋势, 从数量化角度看，便可理解为：无论给定多大的正数 E , 总可找到自变量 x 非常接近原点的一个范围，当 x 在此范围中时， 相应的函数值 f ( x ) 与原点的距离必定大于这个正数 E . 据此， 我们可以给出以下 “ 当 x ? 0 时 ，函数 y = 1 /x 是无穷大 ” 的 数量化定义 “ x ? 0 ” 的含义，或者说 ，“ x 无限接近点 零 ” ，从数量化角度 看，可以理解为：动点 x 与原点的距离 | x - 0 | 小于一个 很小的 正数 ? ： | x - 0 | ? . 定义 设函数 y = f ( x ) 在 定点 x 0 的某个去心邻域中有定义。 若对于任意给定的正数 E ，不论它多大，都可找到一个邻域半径 值 ? 0 , 使得对于满足不等式 0 | x - x0 | ? 的一切 x , 相 应的函数值 f ( x ) 均满足不等式 ： |