中考圆与相似、解直角三角形综合试题课件解析.ppt

* 黄店镇中学九年级数学组 中考圆与相似、解直角三角形 综合试题 专题讲解 解直角三角形与圆 （江苏镇江）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。 （1）求证：FC是⊙O的切线 （2）若⊙O的半径为5， 求弦AC的长 （1）证明：连接OC ∵FC=FE， ∴∠FCE=∠FEC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA 又∵∠FEC=∠AED ∴∠FCE=∠AED 又∵DF⊥AB ∴∠OAC＋∠AED=90° ∴∠OCA＋∠FCE =90°即∠OCF =90° ∴OC⊥CF 又∵OC是⊙O的半径 ∴FC是⊙O的切线 （2）解：连接BC ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB ∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=90°－∠ACO=∠OCF－∠ACO =∠FCE ∴∠OBC=∠FCE 又∵ ∴ 又∵⊙O的半径为5 ∴AB=10。 在Rt△ABC中， ∴ 【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定， 圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。 由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系， 经过等量代换即可得到。 （2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到， 应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。 （四川巴中）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D， E是⊙O上一点，且∠AED=45°。 （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。 （1）解： CD与⊙O相切 理由：连接BD，OD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°。 ∵∠ABD=∠E=45° ∴∠DAB=45°，则AD=BD ∴△ABD是等腰直角三角形 ∴OD⊥AB 又∵DC∥AB ∴OD⊥DC ∴CD与⊙O相切。 （2）解：过点O作OF⊥AE，连接OE 则AF=AE=×10=5 ∵OA=OE ∴∠AOF=∠AOE。 ∵∠ADE=∠AOE ∴∠ADE=∠AOF。 在Rt△AOF中，sin∠AOF= ∴sin∠ADE= sin∠AOF = 3（福建福州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C 点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． (1) 求证：AC平分∠DAB； (2) 若∠B＝60o，CD＝2 ，求AE的长． 3 (1) 证明：如图，连接OC ∵ CD为⊙O的切线 ∴ OC⊥CD ∴ ∠OCD＝90° ∵ AD⊥CD ∴ ∠ADC＝90° ∴ ∠OCD＋∠ADC＝180° ∴ AD∥OC ∴ ∠CAD＝∠ACO ∵ OA＝OC ∴ ∠ACO＝∠CAO ∴ ∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB (2) 解：∵ AB为⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝90°． 又∵ ∠B＝60° ∴∠CAD＝∠CAB＝30° 在Rt△ACD中，CD＝2 ∴ AC＝2CD＝4 在Rt△ABC中，AC＝4 ∴ AB＝8 连接OE， ∵ ∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE ∴ △AOE是等边三角形 ∴ AE＝OA＝AB＝4 3 3 3 相似与圆 4 （广西北海）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的 切线CD互相垂直，垂足为D。 （1）求证：∠EAC＝∠CAB （2）若CD＝4，AD＝8 ①求O的半径 ②求tan∠BAE的值 （1）证明：连接OC ∵CD是⊙O的切线 ∴CD⊥OC 又∵CD⊥AE ∴OC∥AE ∴∠1＝∠3 ∵OC＝OA ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB 2）解：①连接BC ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D ∴∠ACB＝∠ADC＝90° ∵∠1＝∠2 ∴△ACD∽△ABC ∴ ∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80 ∴AB＝ ＝10。 ∴⊙O的半径为10÷2＝5 ②连接CF与BF。 ∵四边形ABCF是⊙O的